Question : On considère la fonction \(g\) définie par :
\[ g: x \mapsto \frac{3x - 1}{x + 2}. \]
Pour quelle valeur de \(x\) cette fonction n’est-elle pas définie ? Justifiez.
Calculez :
\[ \begin{aligned} & g(-4) = \ldots \\ & g(-2) = \ldots \\ & g(-1) = \ldots \\ & g(0) = \ldots \\ & g(2) = \ldots \end{aligned} \]
La fonction \(g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}\) n’est pas définie pour \(x = -2\). Les valeurs de \(g\) pour différents \(x\) ont été calculées, et les préimages des nombres -3, -1, 0, 1 et 2 sont respectivement \(-\frac{5}{6}\), \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{3}{2}\) et \(5\).
On considère la fonction \(g\) définie par : \[ g: x \mapsto \frac{3x - 1}{x + 2}. \]
La fonction \(g\) est une fraction rationnelle, et elle n’est pas définie lorsque le dénominateur est égal à zéro, car la division par zéro est impossible.
Donc, on résout l’équation : \[ x + 2 = 0 \] En isolant \(x\) : \[ x = -2 \]
Conclusion : La fonction \(g\) n’est pas définie pour \(x = -2\).
Calcul de \(g(-4)\) : \[ g(-4) = \frac{3(-4) - 1}{-4 + 2} = \frac{-12 - 1}{-2} = \frac{-13}{-2} = \frac{13}{2} \]
Calcul de \(g(-2)\) :
Comme vu en partie a, pour \(x = -2\), le dénominateur devient zéro. Donc, \(g(-2)\) n’est pas défini.
Calcul de \(g(-1)\) : \[ g(-1) = \frac{3(-1) - 1}{-1 + 2} = \frac{-3 - 1}{1} = \frac{-4}{1} = -4 \]
Calcul de \(g(0)\) : \[ g(0) = \frac{3(0) - 1}{0 + 2} = \frac{0 - 1}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \]
Calcul de \(g(2)\) : \[ g(2) = \frac{3(2) - 1}{2 + 2} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4} \]
Pour trouver la préimage d’un nombre \(y\), on cherche \(x\) tel que \(g(x) = y\). Autrement dit : \[ \frac{3x - 1}{x + 2} = y \] Résolvons cette équation pour chaque valeur de \(y\).
Préimage de -3 : \[ \frac{3x - 1}{x + 2} = -3 \] Multiplions les deux côtés par \(x + 2\) (en supposant \(x \neq -2\)) : \[ 3x - 1 = -3(x + 2) \] Développons le côté droit : \[ 3x - 1 = -3x - 6 \] Regroupons les termes en \(x\) : \[ 3x + 3x = -6 + 1 \\ 6x = -5 \\ x = -\frac{5}{6} \]
Préimage de -3 : \(x = -\frac{5}{6}\)
Préimage de -1 : \[ \frac{3x - 1}{x + 2} = -1 \] Multiplions par \(x + 2\) : \[ 3x - 1 = -1(x + 2) \] Développons : \[ 3x - 1 = -x - 2 \] Regroupons les termes en \(x\) : \[ 3x + x = -2 + 1 \\ 4x = -1 \\ x = -\frac{1}{4} \]
Préimage de -1 : \(x = -\frac{1}{4}\)
Préimage de 0 : \[ \frac{3x - 1}{x + 2} = 0 \] Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur est zéro (et le dénominateur n’est pas zéro) : \[ 3x - 1 = 0 \\ 3x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \]
Préimage de 0 : \(x = \frac{1}{3}\)
Préimage de 1 : \[ \frac{3x - 1}{x + 2} = 1 \] Multiplions par \(x + 2\) : \[ 3x - 1 = 1(x + 2) \] Développons : \[ 3x - 1 = x + 2 \] Regroupons les termes en \(x\) : \[ 3x - x = 2 + 1 \\ 2x = 3 \\ x = \frac{3}{2} \]
Préimage de 1 : \(x = \frac{3}{2}\)
Préimage de 2 : \[ \frac{3x - 1}{x + 2} = 2 \] Multiplions par \(x + 2\) : \[ 3x - 1 = 2(x + 2) \] Développons : \[ 3x - 1 = 2x + 4 \] Regroupons les termes en \(x\) : \[ 3x - 2x = 4 + 1 \\ x = 5 \]
Préimage de 2 : \(x = 5\)