Exercice 42

Question : Est-ce que les situations suivantes peuvent être modélisées par une fonction linéaire ? Justifie.

1. Le coût total d’un abonnement en fonction du nombre de mois.

2. La distance parcourue par un cycliste en fonction du temps passé à pédaler.

Réponse

Réponse :

Oui, les deux situations peuvent être modélisées par des fonctions linéaires car elles présentent une relation proportionnelle et directe entre les variables.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Question : Est-ce que les situations suivantes peuvent être modélisées par une fonction linéaire ? Justifie.

1. Le coût total d’un abonnement en fonction du nombre de mois.

2. La distance parcourue par un cycliste en fonction du temps passé à pédaler.

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a. Le coût total d’un abonnement en fonction du nombre de mois.

Réponse : Oui, cette situation peut être modélisée par une fonction linéaire.

Justification :

Une fonction linéaire a la forme générale : \[ C(m) = a \times m + b \] où : - \(C(m)\) représente le coût total en fonction du nombre de mois \(m\). - \(a\) est le coût par mois (pente de la droite). - \(b\) est le coût fixe (ordonnée à l’origine), si applicable.

Étapes de la modélisation :

1. Identifier les variables :
   • Variable indépendante : nombre de mois \(m\).
   • Variable dépendante : coût total \(C(m)\).
2. Analyser la relation :
   • Si l’abonnement a un coût fixe initial plus un coût variable par mois, la relation est linéaire.
   • Par exemple, si l’abonnement coûte 10 euros par mois sans frais supplémentaires, alors \(b = 0\) et \(a = 10\).
3. Établir l’équation :
   • Supposons qu’il y a un coût fixe de 20 euros et un coût mensuel de 15 euros.
   • L’équation serait : \[ C(m) = 15 \times m + 20 \]
   • Ici, pour chaque mois supplémentaire, le coût augmente de 15 euros, ce qui respecte la définition d’une fonction linéaire.
4. Conclusion :
   • La relation entre le nombre de mois et le coût total est une addition constante à chaque unité de \(m\), ce qui caractérise une fonction linéaire.

b. La distance parcourue par un cycliste en fonction du temps passé à pédaler.

Réponse : Oui, cette situation peut être modélisée par une fonction linéaire.

Justification :

Une fonction linéaire a la forme générale : \[ D(t) = v \times t + D_0 \] où : - \(D(t)\) représente la distance parcourue en fonction du temps \(t\). - \(v\) est la vitesse du cycliste (pente de la droite). - \(D_0\) est la distance initiale, souvent \(0\) si l’on part du point de départ.

Étapes de la modélisation :

1. Identifier les variables :
   • Variable indépendante : temps \(t\) (en heures, minutes, etc.).
   • Variable dépendante : distance \(D(t)\) (en kilomètres, mètres, etc.).
2. Analyser la relation :
   • Si le cycliste maintient une vitesse constante, la distance parcourue augmente proportionnellement au temps passé à pédaler.
   • Cela signifie qu’il n’y a pas d’accélération ni de décélération ; la relation est proportionnelle.
3. Établir l’équation :
   • Supposons que le cycliste roule à une vitesse constante de 20 km/h.
   • L’équation serait : \[ D(t) = 20 \times t \]
   • Si le cycliste part du point de départ à \(t = 0\), alors \(D_0 = 0\).
4. Conclusion :
   • La distance augmente de manière régulière et proportionnelle au temps, caractérisant ainsi une fonction linéaire.

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Résumé :

Les deux situations décrites peuvent être modélisées par des fonctions linéaires car elles présentent une relation proportionnelle et directe entre les variables considérées, sans variations ou complexités additionnelles qui pourraient nécessiter un modèle non linéaire.