Exercice 41

Question : Détermine si la fonction \(h\) est une fonction linéaire. Justifie ta réponse en utilisant le tableau suivant :

\(\boldsymbol{x}\)	\(\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\)
3	18
0,5	3
-6	-36
2	12

Réponse

Conclusion : La fonction \(h\) est linéaire et s’écrit \(h(x) = 6x\) car le taux de variation est constant et égal à 6 pour toutes les valeurs de \(x\) du tableau.

Corrigé détaillé

Pour déterminer si la fonction \(h\) est une fonction linéaire, nous allons analyser les valeurs données dans le tableau et vérifier si le taux de variation de \(h(x)\) par rapport à \(x\) est constant. Une fonction linéaire est généralement de la forme :

\[ h(x) = a \cdot x + b \]

où \(a\) est le coefficient directeur (pente) et \(b\) est l’ordonnée à l’origine. Toutefois, si la fonction est homogène (c’est-à-dire si \(b = 0\)), elle prend la forme :

\[ h(x) = a \cdot x \]

Voici le tableau fourni :

\(\boldsymbol{x}\)	\(\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\)
3	18
0,5	3
-6	-36
2	12

Étape 1 : Calculer le taux de variation entre chaque paire de points

Le taux de variation (ou pente) entre deux points \((x_1, h(x_1))\) et \((x_2, h(x_2))\) se calcule ainsi :

\[ \text{Taux de variation} = \frac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1} \]

Calculons ce taux entre chaque paire de points consécutifs du tableau.

1. Entre \(x = 3\) et \(x = 0,5\) :

\[ \frac{h(0,5) - h(3)}{0,5 - 3} = \frac{3 - 18}{0,5 - 3} = \frac{-15}{-2,5} = 6 \]

2. Entre \(x = 0,5\) et \(x = -6\) :

\[ \frac{h(-6) - h(0,5)}{-6 - 0,5} = \frac{-36 - 3}{-6,5} = \frac{-39}{-6,5} = 6 \]

3. Entre \(x = -6\) et \(x = 2\) :

\[ \frac{h(2) - h(-6)}{2 - (-6)} = \frac{12 - (-36)}{8} = \frac{48}{8} = 6 \]

Étape 2 : Vérifier la constance du taux de variation

Nous avons obtenu le même taux de variation \(6\) entre toutes les paires de points :

\[ 6, \quad 6, \quad 6 \]

Cela signifie que le taux de variation de \(h(x)\) par rapport à \(x\) est constant.

Étape 3 : Déterminer l’expression de la fonction linéaire

Puisque le taux de variation est constant et égal à \(6\), la fonction \(h\) peut s’écrire sous la forme :

\[ h(x) = 6 \cdot x \]

Notez que \(b = 0\), ce qui confirme que la fonction est linéaire et homogène.

Conclusion

La fonction \(h\) est une fonction linéaire de la forme \(h(x) = 6x\). Cette conclusion est justifiée par le fait que le taux de variation est constant et égal à \(6\) pour toutes les valeurs de \(x\) données dans le tableau.