La droite \(d_{1}\) passe par les points \((3 ; 0)\) et \((-3 ; -2)\). La droite \(d_{2}\) est parallèle à \(d_{1}\) et passe par le point \((-1 ; 4)\). Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de \(d_{2}\).
La droite \(d_{2}\) est parallèle à \(d_{1}\) avec une pente \(m = \frac{1}{3}\) et une ordonnée à l’origine \(b = \frac{13}{3}\).
Pour résoudre ce problème, nous allons déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite \(d_{2}\) en suivant les étapes suivantes :
La pente \(m\) d’une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est donnée par la formule :
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Appliquons cette formule aux points \((3, 0)\) et \((-3, -2)\) de la droite \(d_{1}\) :
\[ m_{d_{1}} = \frac{-2 - 0}{-3 - 3} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \]
Donc, la pente de \(d_{1}\) est \(\frac{1}{3}\).
La droite \(d_{2}\) est parallèle à \(d_{1}\). Deux droites parallèles ont la même pente.
\[ m_{d_{2}} = m_{d_{1}} = \frac{1}{3} \]
Ainsi, la pente de \(d_{2}\) est également \(\frac{1}{3}\).
L’équation générale d’une droite est :
\[ y = m x + b \]
où : - \(m\) est la pente, - \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Nous connaissons la pente \(m_{d_{2}} = \frac{1}{3}\) et un point \((-1, 4)\) par lequel passe \(d_{2}\). Nous pouvons substituer ces valeurs dans l’équation pour trouver \(b\) :
\[ 4 = \frac{1}{3} \times (-1) + b \]
Calculons :
\[ 4 = -\frac{1}{3} + b \]
Pour isoler \(b\), ajoutons \(\frac{1}{3}\) des deux côtés :
\[ 4 + \frac{1}{3} = b \]
Convertissons \(4\) en fraction avec le même dénominateur :
\[ \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = b \]
\[ \frac{13}{3} = b \]
Donc, l’ordonnée à l’origine de \(d_{2}\) est \(\frac{13}{3}\).
La droite \(d_{2}\) a pour caractéristiques :
\[ \boxed{m_{d_{2}} = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad b_{d_{2}} = \frac{13}{3}} \]