Exercice 37

Représentez graphiquement l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(5x + 2y = 7\).

Réponse

La droite s’écrit y = –(5/2)x + 7/2, avec une ordonnée à l’origine (0, 7/2) et une abscisse à l’origine (7/5, 0). Tracer la droite passant par ces deux points représente l’ensemble des solutions.

Corrigé détaillé

Pour représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) satisfaisant l’équation 5x + 2y = 7, nous allons procéder étape par étape :

1. Transformation de l’équation en forme « y = mx + b »
     On cherche à isoler y dans l’équation 5x + 2y = 7.
     • On soustrait 5x des deux côtés :
       2y = 7 – 5x
     • On divise ensuite chaque terme par 2 :
       y = (7 – 5x) ÷ 2
     Ce qui se réécrit :
       y = –(5/2)x + 7/2

2. Identification des caractéristiques de la droite
     • La pente (coefficient directeur) est m = –5/2. Cela signifie que pour chaque augmentation de 1 unité sur l’axe des abscisses, y diminue de 5/2 unités.
     • L’ordonnée à l’origine, obtenue quand x = 0, est b = 7/2.

3. Calcul des points particuliers utiles pour le tracé
     a) Point d’intersection avec l’axe des ordonnées (ordonnée à l’origine)
       Ici, on remplace x par 0 dans l’équation :
       y = –(5/2)×0 + 7/2 = 7/2
       On obtient le point (0, 7/2).

  b) Point d’intersection avec l’axe des abscisses (abscisse à l’origine)
    Pour trouver ce point, on pose y = 0 dans l’équation 5x + 2y = 7 :
    5x + 2×0 = 7 ⟹ 5x = 7
    x = 7/5
    On obtient le point (7/5, 0).

4. Tracé de la droite dans le plan
     • Sur une feuille de papier ou une grille, placez d’abord le point (0, 7/2) sur l’axe des ordonnées (environ 3,5 unités du point d’origine).
     • Ensuite, placez le point (7/5, 0) sur l’axe des abscisses (environ 1,4 unités à droite de l’origine).
     • Reliez ces deux points à l’aide d’une règle pour obtenir la droite.

5. Conclusion
     La droite ainsi tracée représente l’ensemble des points (x, y) qui satisfont l’équation 5x + 2y = 7. Tous les points situés sur cette droite sont les solutions de l’équation.

Cette méthode permet de visualiser la relation linéaire définie par 5x + 2y = 7 et de comprendre comment chaque point sur la droite correspond à une paire (x, y) satisfaisant l’équation donnée.