Exercice 33

On considère les applications suivantes, définies dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(f(x) = -3\)
2. \(g(x) = \dfrac{3}{2}x + 3\)
3. \(h(x) = \dfrac{3x - 14}{2}\)
4. \(k(x) = \dfrac{3}{2}x - 7\)
5. Représenter graphiquement ces quatre applications dans un même système d’axes.
6. À l’aide de cette représentation, résoudre les équations suivantes :

   1. \(\dfrac{3}{2}x + 3 = -3\)

   2. \(\dfrac{3}{2}x + 3 = \dfrac{3}{2}x - 7\)

   3. \(\dfrac{3}{2}x - 7 = \dfrac{3x - 14}{2}\)

Réponse

Résumé des solutions :

• 6.a) \(x = -4\)
• 6.b) Aucune solution
• 6.c) Toute valeur de \(x\) est une solution

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Nous allons résoudre les équations proposées à l’aide des représentations graphiques des fonctions données. Chaque équation correspond à la recherche des points d’intersection entre deux droites. Voici les corrections détaillées pour chaque partie :

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6.a) Résoudre l’équation :

\[\dfrac{3}{2}x + 3 = -3\]

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : L’équation nous demande de trouver la valeur de \(x\) pour laquelle la fonction \(g(x) = \dfrac{3}{2}x + 3\) est égale à -3.

2. Isoler \(x\) : \[ \dfrac{3}{2}x + 3 = -3 \] Soustrayons 3 des deux côtés de l’équation : \[ \dfrac{3}{2}x = -3 - 3 \] \[ \dfrac{3}{2}x = -6 \]

3. Résoudre pour \(x\) : Multiplions les deux côtés par \(\dfrac{2}{3}\) pour isoler \(x\) : \[ x = -6 \times \dfrac{2}{3} \] \[ x = -4 \]

Solution : \(x = -4\)

Interprétation graphique : Le point d’intersection entre la droite représentée par \(g(x)\) et la droite horizontale \(y = -3\) se situe au point \((-4, -3)\).

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6.b) Résoudre l’équation :

\[\dfrac{3}{2}x + 3 = \dfrac{3}{2}x - 7\]

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : L’équation égalise deux fonctions linéaires de même pente mais d’ordonnées à l’origine différentes. Il s’agit de déterminer si elles se coupent et, si oui, en quel point.

2. Simplifier l’équation : Soustrayons \(\dfrac{3}{2}x\) des deux côtés : \[ \dfrac{3}{2}x + 3 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{3}{2}x - 7 - \dfrac{3}{2}x \] \[ 3 = -7 \]

3. Analyser le résultat : L’équation simplifiée est \(3 = -7\), ce qui est une affirmation fausse. Cela signifie qu’il n’existe aucune valeur de \(x\) qui satisfasse l’équation.

Solution : Aucune solution.

Interprétation graphique : Les deux droites ont la même pente (\(\dfrac{3}{2}\)) mais des ordonnées à l’origine différentes (3 et -7). Elles sont parallèles et ne se coupent jamais.

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6.c) Résoudre l’équation :

\[\dfrac{3}{2}x - 7 = \dfrac{3x - 14}{2}\]

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : Nous cherchons la valeur de \(x\) pour laquelle les deux expressions sont égales.

2. Simplifier l’équation : Observons que \(\dfrac{3x - 14}{2}\) peut être décomposée : \[ \dfrac{3x - 14}{2} = \dfrac{3x}{2} - \dfrac{14}{2} = \dfrac{3}{2}x - 7 \] Ainsi, l’équation devient : \[ \dfrac{3}{2}x - 7 = \dfrac{3}{2}x - 7 \]

3. Analyser le résultat : Les deux côtés de l’équation sont identiques, ce qui est toujours vrai pour toute valeur de \(x\).

Solution : Toute valeur de \(x\) est solution.

Interprétation graphique : Les deux expressions représentent la même droite. Par conséquent, elles se superposent complètement, indiquant une infinité de points d’intersection.

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Représentation Graphique (Question 5)

Pour représenter graphiquement les quatre applications dans un même système d’axes, procédons comme suit :

1. Identifier les fonctions :
   • \(f(x) = -3\) : droite horizontale passant par \(y = -3\).
   • \(g(x) = \dfrac{3}{2}x + 3\) : droite avec une pente de \(\dfrac{3}{2}\) et une ordonnée à l’origine de 3.
   • \(h(x) = \dfrac{3x - 14}{2} = \dfrac{3}{2}x - 7\) : droite avec la même pente que \(g(x)\) mais une ordonnée à l’origine de -7.
   • \(k(x) = \dfrac{3}{2}x - 7\) : identique à \(h(x)\).
2. Tracer les droites :
   • \(f(x) = -3\) : tracer une ligne horizontale passant par \(y = -3\).
   • \(g(x) = \dfrac{3}{2}x + 3\) :
     • Ordonnée à l’origine : (0, 3).
     • Utiliser la pente pour trouver un autre point : par exemple, pour \(x = 2\), \[ g(2) = \dfrac{3}{2} \times 2 + 3 = 3 + 3 = 6 \] Point : (2, 6).
   • \(h(x) = \dfrac{3}{2}x - 7\) ou \(k(x) = \dfrac{3}{2}x - 7\) :
     • Ordonnée à l’origine : (0, -7).
     • Utiliser la pente pour trouver un autre point : par exemple, pour \(x = 2\), \[ h(2) = \dfrac{3}{2} \times 2 - 7 = 3 - 7 = -4 \] Point : (2, -4).
3. Tracer les droites sur le graphique :
   • Utiliser une règle pour tracer les lignes droites en passant par les points déterminés.
   • Utiliser différentes couleurs ou styles de lignes pour distinguer chaque fonction.

Remarque : Les fonctions \(h(x)\) et \(k(x)\) sont identiques. Il y aura donc seulement trois droites distinctes sur le graphique.

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Résumé des Solutions (6.a, 6.b, 6.c)

• 6.a) \(x = -4\)
• 6.b) Aucune solution
• 6.c) Toute valeur de \(x\) est une solution

Ces résultats sont obtenus à partir de l’analyse des équations et des représentations graphiques des fonctions.