Exercice 30

Tracer, dans un même système d’axes, les droites \(d_{1}\), \(d_{2}\) et \(d_{3}\), sachant que :

\(d_{1}\) et \(d_{2}\) passent par le point \((1 ; 3)\),
\(d_{2}\) et \(d_{3}\) passent par le point \((4 ; 0)\).

Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des trois droites.
Calculer l’aire du polygone formé par ces trois droites.

Réponse

Les droites sont choisies ainsi : d₁ : y = 3, d₂ : y = –x + 4, d₃ : x = 4. Leurs intersections donnent les sommets du triangle : A(1 ; 3), B(4 ; 0) et C(4 ; 3). Ce triangle rectangle en C a pour aire (3 × 3)/2 = 9/2.

Corrigé détaillé

Nous allons choisir, pour tracer un triangle simple, des droites suffisamment particulières qui respectent les conditions du problème. En effet, nous savons que :

• La droite d₁ et la droite d₂ passent par le point (1 ; 3).
• La droite d₂ et la droite d₃ passent par le point (4 ; 0).

Pour obtenir un triangle (polygone fermé à trois côtés), nous fixerons les équations de ces droites de sorte que les trois droites se coupent deux à deux en trois points distincts.

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1) Choix et tracé des droites

Nous allons procéder de la façon suivante :

Déterminer d₂
La droite d₂ passe par (1 ; 3) et (4 ; 0).
– Calcul de la pente m₂ :
m₂ = (0 – 3) / (4 – 1) = –3/3 = –1
– Utilisation de la formule point-pente (y – y₀ = m(x – x₀)) avec (1 ; 3) :
y – 3 = –1 (x – 1)
Développons pour obtenir l’équation sous forme y = mx + p :
y – 3 = –x + 1
y = –x + 4
D’où la droite d₂ a pour pente –1 et pour ordonnée à l’origine 4.
Choisir d₁
On peut choisir la droite d₁ de façon simple tout en respectant qu’elle passe par (1 ; 3). Pour faciliter le tracé, choisissons d₁ horizontale. Une droite horizontale a une pente nulle.
– Son équation s’écrit alors :
y = 3
(La droite passant par (1 ; 3) aura pour ordonnée à l’origine 3.)
Choisir d₃
Il reste à déterminer la droite d₃ qui doit passer par (4 ; 0). Pour simplifier le tracé, nous choisirons d₃ verticale. En effet, une droite verticale passant par (4 ; 0) a pour équation :
x = 4
(Remarquons qu’une droite verticale n’a pas de pente définie et ne possède pas d’ordonnée à l’origine au sens habituel.)

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2) Pentes, ordonnées à l’origine et équations

Récapitulons les informations concernant chacune des droites :

• Droite d₁
– Passe par (1 ; 3).
– Pour une droite horizontale, la pente m₁ = 0.
– L’ordonnée à l’origine est obtenue en posant x = 0 dans l’équation y = 3, donc y = 3.
– Équation : y = 3.

• Droite d₂
– Passe par (1 ; 3) et (4 ; 0).
– Pente m₂ = –1, comme nous avons calculé.
– Son équation sous forme y = mx + p est :
y = –x + 4
– L’ordonnée à l’origine est 4.

• Droite d₃
– Passe par (4 ; 0).
– C’est une droite verticale, donc la notion de pente n’est pas définie et il n’existe pas d’ordonnée à l’origine dans ce cas.
– Équation : x = 4.

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3) Détermination du polygone et calcul de son aire

Les trois droites se coupent deux à deux. Déterminons les points d’intersection (les sommets du triangle) :

– Intersection de d₁ et d₂ :
D’après l’énoncé, (1 ; 3) (car d₁ et d₂ passent par ce point).
Nous noterons ce point A = (1 ; 3).

– Intersection de d₂ et d₃ :
D’après l’énoncé, (4 ; 0) (car d₂ et d₃ passent par ce point).
Nous noterons ce point B = (4 ; 0).

– Intersection de d₁ et d₃ :
d₁ : y = 3
d₃ : x = 4
En remplaçant x dans d₁, le point d’intersection est : (4 ; 3).
Nous noterons ce point C = (4 ; 3).

Le triangle a donc pour sommets A(1 ; 3), B(4 ; 0) et C(4 ; 3).

Pour calculer l’aire du triangle, nous pouvons utiliser la formule (base × hauteur)/2.
Choisissons par exemple la base comme étant le segment AC ou CB ; ici, il est pratique d’observer la position des points :

– Le segment CB relie C(4 ; 3) à B(4 ; 0). Comme les deux points ont la même coordonnée en x, CB est vertical et sa longueur vaut :
|3 – 0| = 3. – Le segment AC relie A(1 ; 3) à C(4 ; 3). Ici, les deux points ont la même ordonnée, donc AC est horizontal et sa longueur vaut :
|4 – 1| = 3.

Le triangle ABC est rectangle en C (car les côtés AC et CB sont perpendiculaires). Ainsi, son aire vaut :
Aire = (longueur AC × longueur CB)/2 = (3 × 3)/2 = 9/2
Ce qui correspond à 4,5 unités d’aire.

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Conclusion

Les trois droites choisies, qui forment le triangle, sont :

– Droite d₁ : y = 3 (pente = 0, ordonnée à l’origine = 3)
– Droite d₂ : y = –x + 4 (pente = –1, ordonnée à l’origine = 4)
– Droite d₃ : x = 4 (droite verticale, pas de pente ni d’ordonnée à l’origine)

Le triangle a pour sommets (1 ; 3), (4 ; 0) et (4 ; 3) et son aire est égale à 9/2 unités d’aire.

Cette solution choisit d₁ horizontale et d₃ verticale pour simplifier le tracé et le calcul de l’aire.