Exercice 28
Tracer dans un même système d’axes :
- la droite \(d_{1}\) passant par le point \(A(3 ; 0)\) et de pente \(-\frac{1}{4}\),
- la droite \(d_{2}\), parallèle à \(d_{1}\) et passant par le point \(B(4 ; -2)\),
- la droite \(d_{3}\) passant par les points \(C(0 ; 3)\) et \(D(8 ; -5)\).
Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des droites \(d_{1}\), \(d_{2}\) et \(d_{3}\).
Réponse
Résultat succinct :
Droite \(d_{1}\) : \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} \quad (\text{pente} \, m = -\frac{1}{4}, \text{ordonnée à l'origine} \, b = \frac{3}{4}) \]
Droite \(d_{2}\) : \[ y = -\frac{1}{4}x - 1 \quad (\text{pente} \, m = -\frac{1}{4}, \text{ordonnée à l'origine} \, b = -1) \]
Droite \(d_{3}\) : \[ y = -x + 3 \quad (\text{pente} \, m = -1, \text{ordonnée à l'origine} \, b = 3) \]
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Énoncé :
Tracer dans un même système d’axes :
- la droite \(d_{1}\) passant par le point \(A(3 ; 0)\) et de pente \(-\frac{1}{4}\),
- la droite \(d_{2}\), parallèle à \(d_{1}\) et passant par le point \(B(4 ; -2)\),
- la droite \(d_{3}\) passant par les points \(C(0 ; 3)\) et \(D(8 ; -5)\).
Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des droites \(d_{1}\), \(d_{2}\) et \(d_{3}\).
1. Droite \(d_{1}\)
a. Détermination de la pente
La pente de la droite \(d_{1}\) est déjà donnée : \[ m_{1} = -\frac{1}{4} \]
b. Calcul de l’ordonnée à l’origine
Pour trouver l’ordonnée à l’origine (\(b\)), nous utilisons le point \(A(3 ; 0)\) qui appartient à la droite \(d_{1}\). L’équation générale de la droite est : \[ y = m_{1}x + b \]
En remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point \(A\) : \[ 0 = -\frac{1}{4} \times 3 + b \] \[ 0 = -\frac{3}{4} + b \] \[ b = \frac{3}{4} \]
c. Équation de la droite \(d_{1}\)
Avec la pente et l’ordonnée à l’origine, l’équation de \(d_{1}\) est : \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} \]
2. Droite \(d_{2}\)
a. Détermination de la pente
La droite \(d_{2}\) est parallèle à \(d_{1}\). Or, deux droites parallèles ont la même pente. Donc : \[ m_{2} = m_{1} = -\frac{1}{4} \]
b. Calcul de l’ordonnée à l’origine
Nous utilisons le point \(B(4 ; -2)\) appartenant à \(d_{2}\). L’équation de la droite est : \[ y = m_{2}x + b \]
En remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point \(B\) : \[ -2 = -\frac{1}{4} \times 4 + b \] \[ -2 = -1 + b \] \[ b = -1 \]
c. Équation de la droite \(d_{2}\)
Ainsi, l’équation de \(d_{2}\) est : \[ y = -\frac{1}{4}x - 1 \]
3. Droite \(d_{3}\)
a. Calcul de la pente
La droite \(d_{3}\) passe par les points \(C(0 ; 3)\) et \(D(8 ; -5)\). La pente \(m_{3}\) se calcule ainsi : \[ m_{3} = \frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - x_{C}} \] \[ m_{3} = \frac{-5 - 3}{8 - 0} \] \[ m_{3} = \frac{-8}{8} \] \[ m_{3} = -1 \]
b. Calcul de l’ordonnée à l’origine
En utilisant le point \(C(0 ; 3)\), nous pouvons directement voir que lorsque \(x = 0\), \(y = 3\). Donc : \[ b = 3 \]
c. Équation de la droite \(d_{3}\)
L’équation de \(d_{3}\) est donc : \[ y = -x + 3 \]
Résumé des résultats
- Droite \(d_{1}\) :
\[
y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}
\]
- Pente : \(m_{1} = -\frac{1}{4}\)
- Ordonnée à l’origine : \(b = \frac{3}{4}\)
- Droite \(d_{2}\) :
\[
y = -\frac{1}{4}x - 1
\]
- Pente : \(m_{2} = -\frac{1}{4}\)
- Ordonnée à l’origine : \(b = -1\)
- Droite \(d_{3}\) :
\[
y = -x + 3
\]
- Pente : \(m_{3} = -1\)
- Ordonnée à l’origine : \(b = 3\)
Ainsi, en suivant ces étapes, vous pouvez tracer les trois droites dans le même système d’axes et vérifier que les équations obtenues correspondent bien aux conditions données dans l’exercice.