Exercice 27

Représentez, dans un système d’axes commun :

• la droite \(d_{1}\) passant par les points \(A(0; -4)\) et \(B(3; 0)\),
• la droite \(d_{2}\) passant par le point \(C(0; 5)\) et de pente \(-\frac{5}{3}\).

1. Indiquez la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\).

2. Calculez l’aire du triangle \(ABC\).

Réponse

Résumé de l’exercice :

1. Droite \(d_{1}\) :
   • Pente : \(\frac{4}{3}\)
   • Ordonnée à l’origine : \(-4\)
   • Équation : \(y = \frac{4}{3}x - 4\)
2. Droite \(d_{2}\) :
   • Pente : \(-\frac{5}{3}\)
   • Ordonnée à l’origine : \(5\)
   • Équation : \(y = -\frac{5}{3}x + 5\)
3. Aire du triangle \(ABC\) :
   • 13,5 unités carrées

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Question 1 : Indiquez la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\).

Pour déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\), suivons les étapes ci-dessous.

1. Droite \(d_{1}\) passant par les points \(A(0; -4)\) et \(B(3; 0)\)

a. Calcul de la pente (\(m\))

La pente d’une droite qui passe par deux points \((x_{1}, y_{1})\) et \((x_{2}, y_{2})\) se calcule avec la formule :

\[ m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \]

En remplaçant par les coordonnées des points \(A\) et \(B\) :

\[ m = \frac{0 - (-4)}{3 - 0} = \frac{4}{3} \]

b. Ordonnée à l’origine (\(b\))

L’ordonnée à l’origine est la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\). Le point \(A(0; -4)\) est sur la droite \(d_{1}\), donc \(b = -4\).

c. Équation de la droite \(d_{1}\)

L’équation d’une droite est de la forme :

\[ y = mx + b \]

En remplaçant \(m\) et \(b\) :

\[ y = \frac{4}{3}x - 4 \]

2. Droite \(d_{2}\) passant par le point \(C(0; 5)\) et de pente \(-\frac{5}{3}\)

a. Pente (\(m\))

La pente est donnée directement : \(m = -\frac{5}{3}\).

b. Ordonnée à l’origine (\(b\))

Le point \(C(0; 5)\) est sur la droite \(d_{2}\), donc \(b = 5\).

c. Équation de la droite \(d_{2}\)

Utilisons la même formule :

\[ y = mx + b \]

En remplaçant \(m\) et \(b\) :

\[ y = -\frac{5}{3}x + 5 \]

Question 2 : Calculez l’aire du triangle \(ABC\).

Pour calculer l’aire du triangle formé par les points \(A(0; -4)\), \(B(3; 0)\) et \(C(0; 5)\), nous pouvons utiliser la formule de l’aire d’un triangle à partir de ses coordonnées.

a. Formule de l’aire

L’aire \(\mathcal{A}\) d’un triangle formé par les points \(A(x_{A}; y_{A})\), \(B(x_{B}; y_{B})\), et \(C(x_{C}; y_{C})\) est donnée par :

\[ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| x_{A}(y_{B} - y_{C}) + x_{B}(y_{C} - y_{A}) + x_{C}(y_{A} - y_{B}) \right| \]

b. Application des coordonnées des points

Remplaçons les coordonnées des points \(A(0; -4)\), \(B(3; 0)\) et \(C(0; 5)\) dans la formule :

\[ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - 5) + 3(5 - (-4)) + 0((-4) - 0) \right| \]

Simplifions chaque terme :

• \(0(0 - 5) = 0\)
• \(3(5 - (-4)) = 3(9) = 27\)
• \(0((-4) - 0) = 0\)

Donc :

\[ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| 0 + 27 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 27 = 13,5 \]

c. Résultat final

L’aire du triangle \(ABC\) est de 13,5 unités carrées.

Résumé

1. Droite \(d_{1}\) :
   • Pente : \(\frac{4}{3}\)
   • Ordonnée à l’origine : \(-4\)
   • Équation : \(y = \frac{4}{3}x - 4\)
2. Droite \(d_{2}\) :
   • Pente : \(-\frac{5}{3}\)
   • Ordonnée à l’origine : \(5\)
   • Équation : \(y = -\frac{5}{3}x + 5\)
3. Aire du triangle \(ABC\) : \(13,5\) unités carrées.