Exercice 26

Tracer, dans un même système d’axes :

• la droite \(d_{1}\) passant par les points \(A(0\, ;\, 2)\) et \(B(2\, ;\, 0)\),
• la droite \(d_{2}\) passant par les points \(B\) et \(C(0\, ;\, -2)\).

Donnez la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de \(d_{1}\) et de \(d_{2}\).

Réponse

La droite \(d_{1}\) passant par \(A(0, 2)\) et \(B(2, 0)\) a pour équation \(y = -x + 2\). La droite \(d_{2}\) passant par \(B(2, 0)\) et \(C(0, -2)\) a pour équation \(y = x - 2\). Ces équations permettent de tracer les deux droites sur un même graphique.

Corrigé détaillé

Pour résoudre cet exercice, nous allons déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\) en utilisant les coordonnées des points donnés. Voici les étapes détaillées :

1. Détermination de la droite \(d_{1}\)

a. Identification des points

La droite \(d_{1}\) passe par les points \(A(0\, ;\, 2)\) et \(B(2\, ;\, 0)\).

b. Calcul de la pente \(m_{1}\)

La pente d’une droite passant par deux points \((x_{1}, y_{1})\) et \((x_{2}, y_{2})\) se calcule avec la formule : \[ m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \] Appliquons cette formule pour \(d_{1}\) : \[ m_{1} = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1 \]

c. Calcul de l’ordonnée à l’origine \(p_{1}\)

L’équation d’une droite peut être écrite sous la forme : \[ y = m x + p \] Nous connaissons \(m_{1} = -1\) et un point par lequel passe la droite, par exemple \(A(0\, ;\, 2)\). En substituant les valeurs dans l’équation : \[ 2 = (-1) \times 0 + p_{1} \implies p_{1} = 2 \]

d. Écriture de l’équation de \(d_{1}\)

En remplaçant \(m_{1}\) et \(p_{1}\) dans l’équation générale : \[ y = -x + 2 \]

2. Détermination de la droite \(d_{2}\)

a. Identification des points

La droite \(d_{2}\) passe par les points \(B(2\, ;\, 0)\) et \(C(0\, ;\, -2)\).

b. Calcul de la pente \(m_{2}\)

Utilisons la même formule pour la pente : \[ m_{2} = \frac{-2 - 0}{0 - 2} = \frac{-2}{-2} = 1 \]

c. Calcul de l’ordonnée à l’origine \(p_{2}\)

En utilisant le point \(B(2\, ;\, 0)\) et la pente \(m_{2} = 1\) : \[ 0 = 1 \times 2 + p_{2} \implies p_{2} = -2 \]

d. Écriture de l’équation de \(d_{2}\)

En remplaçant \(m_{2}\) et \(p_{2}\) dans l’équation générale : \[ y = x - 2 \]

3. Résumé des résultats

• Droite \(d_{1}\) :
  • Pente \(m_{1} = -1\)
  • Ordonnée à l’origine \(p_{1} = 2\)
  • Équation : \(y = -x + 2\)
• Droite \(d_{2}\) :
  • Pente \(m_{2} = 1\)
  • Ordonnée à l’origine \(p_{2} = -2\)
  • Équation : \(y = x - 2\)

Ces équations permettent de tracer les droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\) dans un système d’axes commun.