Exercice 25

Tracer dans le même système de coordonnées :

• la droite \(d_{1}\) d’équation \(y = 2x - 1\),
• la droite \(d_{2}\), parallèle à \(d_{1}\) et passant par le point \(A(2 ; 5)\),
• la droite \(d_{3}\), perpendiculaire à \(d_{1}\) et ayant pour ordonnée à l’origine \(-1\).

Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation des droites \(d_{2}\) et \(d_{3}\).

Réponse

Résumé de la correction :

• Droite \(d_{2}\) : \(y = 2x + 1\)
  • Pente : \(2\)
  • Ordonnée à l’origine : \(1\)
• Droite \(d_{3}\) : \(y = -\frac{1}{2}x - 1\)
  • Pente : \(-\frac{1}{2}\)
  • Ordonnée à l’origine : \(-1\)

Ces équations permettent de tracer les droites \(d_{2}\) et \(d_{3}\) parallèlement et perpendiculairement à \(d_{1}\).

Corrigé détaillé

Pour résoudre cet exercice, nous allons déterminer les caractéristiques des droites \(d_{2}\) et \(d_{3}\) en utilisant les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires.

1. Droite \(d_{1}\)

Tout d’abord, rappelons l’équation de la droite \(d_{1}\) donnée :

\[ d_{1} : y = 2x - 1 \]

• Pente (\(m\)) : La pente de \(d_{1}\) est \(2\).
• Ordonnée à l’origine (\(b\)) : L’ordonnée à l’origine est \(-1\).

2. Droite \(d_{2}\) : Parallèle à \(d_{1}\) et passant par le point \(A(2 ; 5)\)

a. Détermination de la pente

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente. Donc, la pente de \(d_{2}\) est identique à celle de \(d_{1}\) :

\[ m_{d_{2}} = m_{d_{1}} = 2 \]

b. Utilisation du point \(A(2 ; 5)\) pour trouver l’ordonnée à l’origine

Nous connaissons un point par lequel passe \(d_{2}\), soit \(A(2 ; 5)\). Utilisons l’équation générale d’une droite :

\[ y = mx + b \]

En remplaçant \(m\) par \(2\) et \((x, y)\) par \((2, 5)\) :

\[ 5 = 2 \times 2 + b \\ 5 = 4 + b \\ b = 5 - 4 \\ b = 1 \]

c. Équation de \(d_{2}\)

Avec \(m = 2\) et \(b = 1\), l’équation de \(d_{2}\) est :

\[ d_{2} : y = 2x + 1 \]

• Pente (\(m\)) : \(2\)
• Ordonnée à l’origine (\(b\)) : \(1\)

3. Droite \(d_{3}\) : Perpendiculaire à \(d_{1}\) et ayant pour ordonnée à l’origine \(-1\)

a. Détermination de la pente

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à \(-1\). Si \(m_{d_{1}} = 2\), alors la pente \(m_{d_{3}}\) de \(d_{3}\) est :

\[ m_{d_{3}} \times m_{d_{1}} = -1 \\ m_{d_{3}} \times 2 = -1 \\ m_{d_{3}} = -\frac{1}{2} \]

b. Utilisation de l’ordonnée à l’origine

La droite \(d_{3}\) a une ordonnée à l’origine de \(-1\). Donc, \(b_{d_{3}} = -1\).

c. Équation de \(d_{3}\)

Avec \(m = -\frac{1}{2}\) et \(b = -1\), l’équation de \(d_{3}\) est :

\[ d_{3} : y = -\frac{1}{2}x - 1 \]

• Pente (\(m\)) : \(-\frac{1}{2}\)
• Ordonnée à l’origine (\(b\)) : \(-1\)

4. Résumé des résultats

• Droite \(d_{2}\) : \[ d_{2} : y = 2x + 1 \]
  • Pente : \(2\)
  • Ordonnée à l’origine : \(1\)
• Droite \(d_{3}\) : \[ d_{3} : y = -\frac{1}{2}x - 1 \]
  • Pente : \(-\frac{1}{2}\)
  • Ordonnée à l’origine : \(-1\)

Ces équations permettent de tracer les droites \(d_{2}\) et \(d_{3}\) dans le même système de coordonnées que \(d_{1}\).