Exercice 24
Tracer dans un même système d’axes :
- la droite \(d_1\) passant par les points \(A(0, 0)\) et \(B(-2, 4)\),
- la droite \(d_2\), parallèle à \(d_1\) et passant par le point \(C(0, 4)\).
Donnez la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de \(d_1\) et de \(d_2\).
Réponse
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) ont toutes deux une pente de \(-2\). L’ordonnée à l’origine de \(d_1\) est \(0\) avec pour équation \(y = -2x\). Pour \(d_2\), l’ordonnée à l’origine est \(4\) et son équation est \(y = -2x + 4\). Ces informations permettent de tracer précisément les deux droites dans le système d’axes.
Corrigé détaillé
Correction détaillée
Pour tracer les droites \(d_1\) et \(d_2\) dans un système d’axes et déterminer leurs pentes, ordonnées à l’origine et équations, suivons les étapes ci-dessous.
1. Détermination de la pente de la droite \(d_1\)
La pente (\(m\)) d’une droite passant par deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) est calculée par la formule :
\[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]
Application avec les points \(A(0, 0)\) et \(B(-2, 4)\) :
\[ m_{d_1} = \frac{4 - 0}{-2 - 0} = \frac{4}{-2} = -2 \]
Donc, la pente de la droite \(d_1\) est \(-2\).
2. Détermination de l’ordonnée à l’origine de la droite \(d_1\)
L’équation générale d’une droite est donnée par :
\[ y = mx + b \]
où : - \(m\) est la pente, - \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Sachant que la droite \(d_1\) passe par le point \(A(0, 0)\), on peut substituer ces coordonnées dans l’équation pour trouver \(b\) :
\[ 0 = (-2) \times 0 + b \Rightarrow b = 0 \]
Ainsi, l’ordonnée à l’origine de \(d_1\) est \(0\).
3. Écriture de l’équation de la droite \(d_1\)
En utilisant la pente \(m_{d_1} = -2\) et l’ordonnée à l’origine \(b = 0\), l’équation de \(d_1\) est :
\[ y = -2x \]
4. Détermination de la pente de la droite \(d_2\)
La droite \(d_2\) est parallèle à la droite \(d_1\). Or, deux droites parallèles ont la même pente. Donc :
\[ m_{d_2} = m_{d_1} = -2 \]
5. Détermination de l’ordonnée à l’origine de la droite \(d_2\)
La droite \(d_2\) passe par le point \(C(0, 4)\). En substituant ces coordonnées dans l’équation générale \(y = mx + b\), on obtient :
\[ 4 = (-2) \times 0 + b \Rightarrow b = 4 \]
Ainsi, l’ordonnée à l’origine de \(d_2\) est \(4\).
6. Écriture de l’équation de la droite \(d_2\)
En utilisant la pente \(m_{d_2} = -2\) et l’ordonnée à l’origine \(b = 4\), l’équation de \(d_2\) est :
\[ y = -2x + 4 \]
7. Résumé des résultats
- Droite \(d_1\) :
- Pente : \(-2\)
- Ordonnée à l’origine : \(0\)
- Équation : \(y = -2x\)
- Droite \(d_2\) :
- Pente : \(-2\)
- Ordonnée à l’origine : \(4\)
- Équation : \(y = -2x + 4\)
Ces équations permettent de tracer précisément les deux droites dans le système d’axes donné.