Exercice 20

Placer les points \(A(4 ; 2)\) et \(B(12 ; 4)\) dans un même système d’axes.

1. Tracer la droite \(d\) d’équation \(y = \frac{4}{3} x + 3\).
2. Trouver graphiquement les coordonnées du sommet \(C\) du triangle isocèle \(\triangle ABC\) tel que \(AC = BC\), sachant que le point \(C\) est sur la droite \(d\).
3. Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(AB\).

Réponse

1. La droite d a pour équation y = (4/3)x + 3 (passant par (0 ; 3) et (3 ; 7)).
   
2. Le sommet C, intersection de d et de la médiatrice de AB, est C(6 ; 11).
   
3. Pour la droite AB (passant par A(4 ; 2) et B(12 ; 4)) : la pente est 1/4, l’ordonnée à l’origine est 1, et son équation est y = (1/4)x + 1.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

────────────────────────────── 1. Placement des points et tracé de la droite d

On commence par placer les points A(4 ; 2) et B(12 ; 4) dans un même système d’axes. Pour ce faire, on repère sur l’axe des abscisses (axe horizontal) les valeurs 4 et 12, et sur l’axe des ordonnées (axe vertical) les valeurs 2 et 4.

Ensuite, pour tracer la droite d d’équation
  y = (4/3)x + 3
on choisit quelques valeurs de x pour obtenir les points correspondants.

• Pour x = 0 :
  y = (4/3)·0 + 3 = 3
  On obtient le point (0 ; 3).

• Pour x = 3 :
  y = (4/3)·3 + 3 = 4 + 3 = 7
  On obtient le point (3 ; 7).

Après avoir repéré ces deux points sur le graphique, on trace une droite passant par eux. La droite ainsi obtenue représente la droite d.

────────────────────────────── 2. Recherche graphique du sommet C du triangle isocèle

Le triangle ABC est isocèle avec AC = BC et le sommet C est situé sur la droite d. Pour déterminer la position de C, on utilise la propriété suivante : dans un triangle isocèle dont la base est AB, le sommet C se trouve sur la médiatrice du segment AB. Ainsi, le point C est l’intersection de la droite d et de la médiatrice de AB.

Étape 1 : Déterminer la médiatrice du segment AB
 a) Calculer le milieu M de AB
  Les coordonnées de M se calculent en faisant la moyenne des abscisses et celle des ordonnées de A et B :    M = ((4 + 12)/2 ; (2 + 4)/2) = (16/2 ; 6/2) = (8 ; 3).

 b) Calculer la pente de AB
  La pente (m₍AB₎) se calcule par :    m₍AB₎ = (ordonnée de B – ordonnée de A) / (abscisse de B – abscisse de A)
      = (4 – 2) / (12 – 4) = 2 / 8 = 1/4.

 c) Déterminer la pente de la médiatrice
  La médiatrice est perpendiculaire à AB ; ainsi, sa pente est l’opposée de l’inverse de celle de AB.
   La pente de la médiatrice, m₍mediatrice₎ = –4.

 d) Écrire l’équation de la médiatrice
  Nous utilisons la formule point-pente en passant par le milieu M(8 ; 3) :    y – 3 = –4 (x – 8)
  Développons :
   y – 3 = –4x + 32
   y = –4x + 32 + 3
  Ainsi, l’équation est :
   y = –4x + 35.

Étape 2 : Trouver le point d’intersection de la droite d et de la médiatrice
On a les deux équations :   (i) y = (4/3)x + 3
  (ii) y = –4x + 35

En égalant les deux expressions de y :   (4/3)x + 3 = –4x + 35

Pour simplifier, multiplions toute l’équation par 3 :   4x + 9 = –12x + 105

Rassemblons les termes en x d’un côté :   4x + 12x = 105 – 9
  16x = 96

Divisons par 16 :   x = 96 / 16 = 6

Pour trouver y, remplaçons x dans l’équation (i) :   y = (4/3)·6 + 3
  Calcul : (4/3)·6 = 8, donc y = 8 + 3 = 11

Le point d’intersection, qui est le sommet C, a donc pour coordonnées :   C = (6 ; 11)

────────────────────────────── 3. Détermination de la pente, de l’ordonnée à l’origine et de l’équation de la droite AB

Nous connaissons déjà les points A(4 ; 2) et B(12 ; 4).

1. Calcul de la pente de la droite AB
   La pente m se calcule ainsi :   m = (ordonnée de B – ordonnée de A) / (abscisse de B – abscisse de A)
      = (4 – 2) / (12 – 4) = 2 / 8 = 1/4

2. Détermination de l’ordonnée à l’origine
   L’ordonnée à l’origine est la valeur de y quand x = 0 dans l’équation de la droite. Pour obtenir l’équation, utilisons la forme :
     y = m x + b, avec m = 1/4 et b l’ordonnée à l’origine.

Utilisons le point A(4 ; 2) pour trouver b :   2 = (1/4)·4 + b
  Calcul : (1/4)·4 = 1, donc
   2 = 1 + b
   b = 2 – 1 = 1

3. Écriture de l’équation de la droite AB
   On a donc :
     y = (1/4)x + 1

────────────────────────────── Résumé des réponses

1. La droite d d’équation y = (4/3)x + 3 est tracée en utilisant les points (0 ; 3) et (3 ; 7).

2. Le sommet C du triangle isocèle, situé sur la droite d, a pour coordonnées C(6 ; 11).

3. Pour la droite AB passant par A(4 ; 2) et B(12 ; 4) :   – La pente est 1/4,   – L’ordonnée à l’origine est 1,   – L’équation de la droite est y = (1/4)x + 1.

Cette correction explique chaque étape du raisonnement et les calculs nécessaires pour arriver aux réponses demandées.