Exercice 19

Question :

1. Décris une méthode efficace pour déterminer la pente d’une droite affine en connaissant deux points \(M(x_1, y_1)\) et \(N(x_2, y_2)\) situés sur cette droite.

2. Utilise cette méthode pour calculer la pente de la fonction affine \(g\) dont le graphique passe par les points \(P(3, 7)\) et \(Q(6, 19)\).

3. Établis l’expression algébrique de la fonction \(g\).

Réponse

Pour les points P(3, 7) et Q(6, 19), la pente est m = (19 − 7)/(6 − 3) = 4. En utilisant P, on trouve b = 7 − 4×3 = −5 et ainsi g(x) = 4x − 5.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre la question en trois parties en détaillant chaque étape.

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1. Troisième principe : Comment déterminer la pente d’une droite affine à partir de deux points donnés

Pour trouver la pente d’une droite passant par deux points M(x₁, y₁) et N(x₂, y₂), on utilise la formule suivante :

  Pente m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Cette formule exprime combien la valeur de y change pour chaque augmentation d’une unité de x. Autrement dit, on calcule la variation de y divisée par la variation de x.

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2. Calcul de la pente pour la fonction affine g

On connaît deux points du graphique de la fonction g :   P(3, 7) et Q(6, 19)

En appliquant la formule de la pente :

  m = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P)   m = (19 - 7) / (6 - 3)   m = 12 / 3   m = 4

La pente de la droite est donc 4.

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3. Détermination de l’expression algébrique de la fonction g

La forme générale d’une fonction affine est donnée par :   g(x) = m·x + b

Nous avons trouvé m = 4 donc :   g(x) = 4·x + b

Pour trouver b, le coefficient b (l’ordonnée à l’origine), on utilise un des points connus. Utilisons le point P(3, 7) :

  g(3) = 4·3 + b = 7
  12 + b = 7
  b = 7 - 12
  b = -5

Ainsi, l’expression algébrique de la fonction est :

  g(x) = 4x - 5

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Récapitulatif :

1. La méthode est de calculer m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
2. La pente de g est 4.
3. Le graphe de la fonction affine s’exprime par g(x) = 4x - 5.

Cette méthode permet de trouver facilement la pente et l’expression d’une fonction affine à partir de deux points situés sur son graphique.