Question : Classe les fonctions suivantes selon leur type.
| Fonction | Fonction | Fonction |
|---|---|---|
| \(a : x \mapsto 4x + 2\) | \(f : x \mapsto 0\) | \(o : x \mapsto x\) |
| \(f : x \mapsto x^{3}\) | \(i : x \mapsto -x\) | \(f : x \mapsto \dfrac{50}{x}\) |
| \(c : x \mapsto 3^{x}\) | \(j : x \mapsto 0,3x^{2}\) | \(q : x \mapsto 5x - 7\) |
| \(d : x \mapsto x - 4\) | \(k : x \mapsto 2,5x\) | \(r : x \mapsto x^{3}\) |
| \(e : x \mapsto -x + 6\) | \(f : x \mapsto 15\) | \(s : x \mapsto 0\) |
| \(f : x \mapsto -2\) | \(m : x \mapsto 0,2x\) | \(t : x \mapsto \sqrt{x}\) |
| \(g : x \mapsto 5x\) | \(n : x \mapsto -x^{2}\) |
Réponse très courte :
• Fonctions constantes : f(x) = 0, f(x) = 15, s(x) = 0, f(x) =
–2
• Fonctions affines : a(x) = 4x + 2, d(x) = x – 4, e(x) = –x + 6, g(x) =
5x, o(x) = x, i(x) = –x, k(x) = 2,5x, q(x) = 5x – 7
• Fonctions polynomiales non affines : f(x) = x³, j(x) = 0,3x², r(x) =
x³, n(x) = –x²
• Fonction exponentielle : c(x) = 3^x
• Fonction rationnelle particulière : f(x) = 50/x
• Fonction racine : t(x) = √x
Nous allons classer chacune des fonctions proposées en plusieurs catégories. Pour cela, rappelons brièvement les types de fonctions que nous rencontrons :
Fonctions constantes : Ce sont des fonctions qui ne dépendent pas de x (la “partie variable” est absente). Elles s’écrivent sous la forme f(x) = c où c est une constante.
Fonctions affines (ou linéaires avec décalage) : Ce sont des fonctions de la forme f(x) = ax + b avec a ≠ 0. Lorsque b = 0, on parle parfois de fonctions linéaires, mais elles restent du type affine.
Fonctions polynomiales non affines (de degré supérieur à 1) : On retrouve ici toute fonction polynomiale qui n’est pas affine, par exemple de degré 2 (quadratique) ou de degré 3 (cubique).
Fonctions exponentielles : Ce sont des fonctions où la variable se trouve dans l’exposant, par exemple f(x) = a^x avec a > 0 et a ≠ 1.
Fonctions rationnelles particulières : Ici, nous avons une fonction qui s’exprime sous la forme f(x) = 50/x. Même si elle est rationnelle, elle ne peut pas être écrite sous la forme d’un polynôme.
Fonctions racine (ou fonctions “puissance fractionnaire”) : Par exemple, f(x) = √x qui associe à x sa racine carrée.
Nous allons maintenant attribuer à chacune des fonctions l’appartenance à une catégorie en les énumérant par leur définition dans le tableau.
───────────────────────────── I – Fonctions constantes
• f : x ↦ 0 (colonne 2, première ligne)
• f : x ↦ 15 (colonne 2, cinquième ligne)
• s : x ↦ 0 (colonne 3, cinquième ligne)
• f : x ↦ -2 (colonne 1, sixième ligne)
Ces fonctions donnent toujours la même valeur quelque soit x.
───────────────────────────── II – Fonctions affines
Les fonctions de type affine ont la forme f(x) = ax + b avec a ≠ 0.
• a : x ↦ 4x + 2 (colonne 1, première ligne)
• d : x ↦ x - 4 (colonne 1, quatrième ligne)
• e : x ↦ -x + 6 (colonne 1, cinquième ligne)
• g : x ↦ 5x (colonne 1, septième ligne)
• o : x ↦ x (colonne 3, première ligne)
• i : x ↦ -x (colonne 2, deuxième ligne)
• k : x ↦ 2,5x (colonne 2, quatrième ligne)
• q : x ↦ 5x - 7 (colonne 3, troisième ligne)
Dans ces fonctions, la partie variable est linéaire et elles varient de manière proportionnelle à x.
───────────────────────────── III – Fonctions polynomiales non affines
Elles sont données par un polynôme de degré supérieur à 1.
• f : x ↦ x³ (colonne 1, deuxième ligne)
• j : x ↦ 0,3x² (colonne 2, troisième ligne)
• r : x ↦ x³ (colonne 3, quatrième ligne)
• n : x ↦ -x² (colonne 2, septième ligne)
Les puissances ici montrent que ce ne sont pas des fonctions linéaires mais des polynômes de degré 2 (quadratique) ou 3 (cubique).
───────────────────────────── IV – Fonction exponentielle
• c : x ↦ 3^x (colonne 1, troisième ligne)
La variable x est dans l’exposant, ce qui distingue ce type de fonction.
───────────────────────────── V – Fonction rationnelle particulière
• f : x ↦ 50/x (colonne 3, deuxième ligne)
Ici, x se trouve au dénominateur ; il s’agit d’une fonction rationnelle dont la forme ne correspond pas à un polynôme.
───────────────────────────── VI – Fonction racine
• t : x ↦ √x (colonne 3, sixième ligne)
La fonction racine associe à chaque x non négatif sa racine carrée.
───────────────────────────── Récapitulatif et classement final
Fonctions constantes :
– f : x ↦ 0
– f : x ↦ 15
– s : x ↦ 0
– f : x ↦ -2
Fonctions affines :
– a : x ↦ 4x + 2
– d : x ↦ x - 4
– e : x ↦ -x + 6
– g : x ↦ 5x
– o : x ↦ x
– i : x ↦ -x
– k : x ↦ 2,5x
– q : x ↦ 5x - 7
Fonctions polynomiales non affines :
– f : x ↦ x³
– j : x ↦ 0,3x²
– r : x ↦ x³
– n : x ↦ -x²
Fonction exponentielle :
– c : x ↦ 3^x
Fonction rationnelle :
– f : x ↦ 50/x
Fonction racine :
– t : x ↦ √x
Ce classement permet de regrouper les fonctions par leur nature mathématique et d’identifier la forme caractéristique de chacune.