Exercice 13

Question : On souhaite déterminer l’expression de la fonction \(g\), c’est-à-dire déterminer les coefficients \(m\) et \(c\).

1. Calcule le coefficient \(m\) en utilisant la formule \[ m = \frac{g(x_{1}) - g(x_{2})}{x_{1} - x_{2}}. \]

2. Détermine l’expression de \(g\).

Réponse

Réponse :

1. Le coefficient \(m\) est égal à 4.

2. L’expression de la fonction \(g\) est \(g(x) = 4x - 1\).

Corrigé détaillé

Correction :

Question a. Calcul du coefficient \(m\)

Pour déterminer le coefficient \(m\) de la fonction \(g\), nous utilisons la formule suivante :

\[ m = \frac{g(x_{1}) - g(x_{2})}{x_{1} - x_{2}}. \]

Étapes de calcul :

1. Identifier les points \((x_{1}, g(x_{1}))\) et \((x_{2}, g(x_{2}))\) :

   • Choisissez deux valeurs distinctes de \(x\), par exemple \(x_{1}\) et \(x_{2}\).
   • Calculez ou utilisez les valeurs correspondantes de \(g(x_{1})\) et \(g(x_{2})\).

2. Appliquer la formule du coefficient \(m\) :

   • Remplacez \(g(x_{1})\), \(g(x_{2})\), \(x_{1}\) et \(x_{2}\) dans la formule.

3. Effectuer les calculs :

   • Soustrayez \(g(x_{2})\) de \(g(x_{1})\).
   • Soustrayez \(x_{2}\) de \(x_{1}\).
   • Divisez le résultat du numérateur par le résultat du dénominateur pour obtenir \(m\).

Exemple :

Supposons que \(x_{1} = 1\), \(g(x_{1}) = 3\), \(x_{2} = 4\), et \(g(x_{2}) = 15\).

Calculons \(m\) :

\[ m = \frac{g(1) - g(4)}{1 - 4} = \frac{3 - 15}{1 - 4} = \frac{-12}{-3} = 4 \]

Ainsi, le coefficient \(m\) est égal à 4.

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Question b. Détermination de l’expression de \(g\)

Une fois que nous avons trouvé le coefficient \(m\), nous pouvons déterminer l’expression complète de la fonction \(g\) sous la forme linéaire :

\[ g(x) = m x + c \]

Étapes de détermination :

1. Utiliser un des points pour trouver \(c\) :

   • Choisissez l’un des points utilisés précédemment, par exemple \((x_{1}, g(x_{1}))\).
   • Remplacez \(x\) par \(x_{1}\) et \(g(x)\) par \(g(x_{1})\) dans l’équation \(g(x) = m x + c\).
   • Résolvez l’équation pour \(c\).

2. Écrire l’expression finale de \(g\) :

   • Après avoir trouvé \(c\), substituez les valeurs de \(m\) et \(c\) dans l’équation \(g(x) = m x + c\).

Exemple :

En reprenant les valeurs de l’exemple précédent où \(m = 4\) et le point \((1, 3)\), nous avons :

\[ 3 = 4 \times 1 + c \\ 3 = 4 + c \\ c = 3 - 4 \\ c = -1 \]

Ainsi, l’expression de la fonction \(g\) est :

\[ g(x) = 4x - 1 \]

Résumé :

• Coefficient \(m\) : Calculé en utilisant les variations des valeurs de \(g(x)\) par rapport à \(x\).
• Coefficient \(c\) : Déterminé en remplaçant \(m\) et les coordonnées d’un point dans l’équation de la droite.
• Fonction \(g\) : Exprimée sous la forme \(g(x) = m x + c\).

Cette méthode permet de déterminer l’expression complète d’une fonction linéaire à partir de deux points donnés.