Exercice 10

Représentez graphiquement l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(\frac{1}{2}x + 4y = 6\).

\[ \{\, (x, y) \mid \frac{1}{2}x + 4y = 6 \,\} \]

Réponse

Pour représenter graphiquement l’équation \(\frac{1}{2}x + 4y = 6\), on la réécrit en \(y = -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2}\), identifie deux points \((0, \frac{3}{2})\) et \((8, \frac{1}{2})\), puis trace la droite passant par ces points sur un plan cartésien.

Corrigé détaillé

Pour représenter graphiquement l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(\frac{1}{2}x + 4y = 6\), nous allons suivre plusieurs étapes claires et structurées. Voici un guide détaillé pour vous aider à tracer cette droite sur un plan cartésien.

Étape 1 : Comprendre l’équation

L’équation donnée est une équation linéaire de la forme : \[ \frac{1}{2}x + 4y = 6 \] Cette équation représente une droite dans le plan cartésien. Notre objectif est de tracer cette droite en trouvant des points \((x, y)\) qui satisfont cette équation.

Étape 2 : Simplifier l’équation

Pour faciliter le tracé, nous pouvons réécrire l’équation sous la forme explicite \(y = mx + b\), où \(m\) est la pente et \(b\) l’ordonnée à l’origine.

Commençons par isoler \(y\) : \[ \frac{1}{2}x + 4y = 6 \]

Soustrayons \(\frac{1}{2}x\) des deux côtés : \[ 4y = -\frac{1}{2}x + 6 \]

Divisons ensuite par \(4\) pour obtenir \(y\) seul : \[ y = -\frac{1}{8}x + \frac{6}{4} \] \[ y = -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2} \]

Maintenant, l’équation est sous la forme \(y = mx + b\), avec : \[ m = -\frac{1}{8} \quad \text{et} \quad b = \frac{3}{2} \]

Étape 3 : Identifier des points caractéristiques

Pour tracer la droite, il est utile de connaître au moins deux points qui satisfont l’équation.

Point de l’ordonnée à l’origine (\(x = 0\))

Calculons \(y\) lorsque \(x = 0\) : \[ y = -\frac{1}{8}(0) + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \] Donc, le point est \((0, \frac{3}{2})\).

Trouver un autre point en choisissant une valeur pour \(x\)

Choisissons \(x = 8\) (un multiple de 8 pour simplifier le calcul) : \[ y = -\frac{1}{8}(8) + \frac{3}{2} = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \] Ainsi, le point est \((8, \frac{1}{2})\).

Étape 4 : Tracer la droite sur le plan cartésien

1. Tracer les axes : Dessinez un plan cartésien avec un axe des abscisses (\(x\)) et un axe des ordonnées (\(y\)).

2. Placer les points :

   • Placez le premier point \((0, \frac{3}{2})\) sur l’axe des ordonnées.
   • Placez le second point \((8, \frac{1}{2})\) dans le plan en partant de l’origine.

3. Tracer la droite : Reliez ces deux points avec une règle pour obtenir la droite représentant l’équation \(\frac{1}{2}x + 4y = 6\).

Résultat Final

La droite obtenue représentera l’ensemble des solutions de l’équation \(\frac{1}{2}x + 4y = 6\). Chaque point sur cette droite satisfait l’équation donnée.

Voici un schéma simplifié de la représentation :

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} y & 3 & 2 & 1.5 & 1 & 0.5 & 0 & -0.5 & -1 & -1.5 & -2 \\ \hline & & & & & & & & & & \\ 1.5 & \bullet & & & & & & & & & \\ 1 & & & & & & & & & & \\ 0.5 & & & & & \bullet & & & & & \\ 0 & & & & & & & & & & \\ \end{array} \]

Les points \((0, \frac{3}{2})\) et \((8, \frac{1}{2})\) sont indiqués par des \(\bullet\). La droite passe par ces deux points.

Ainsi, vous avez tracé avec succès la représentation graphique de l’ensemble des points \((x, y)\) satisfaisant l’équation donnée.