Observez chaque suite de nombres et déterminez la valeur du dixième terme.
| a) | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | \(\ldots\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| b) | 20 | 16 | 12 | 8 | 4 | \(\ldots\) |
| c) | -3 | -1 | -4 | -2 | -5 | \(\ldots\) |
| d) | \(1,5\) | 3 | \(4,5\) | 6 | \(7,5\) | \(\ldots\) |
| e) | 10 | \(7,5\) | 5 | \(2,5\) | 0 | \(\ldots\) |
Nous allons déterminer en détaillant chaque suite de nombres le dixième terme. Pour cela, nous allons observer la “raison” (la différence constante ou le cycle régulier) qui permet de passer d’un terme au suivant.
────────────────────────────── Exercice a)
La suite présente les termes suivants : 2, 5, 8, 11, 14, …
• Pour passer de 2 à 5, on ajoute 3.
• De même, 5 à 8 → +3, etc.
La raison de la suite est donc d = 3.
Pour trouver le dixième terme (noté a₁₀) d’une suite arithmétique, on
utilise la formule :
aₙ = a₁ + (n – 1) × d
Ici, a₁ = 2 et n = 10, donc : a₁₀ = 2 + (10 – 1) × 3
a₁₀ = 2 + 9 × 3
a₁₀ = 2 + 27
a₁₀ = 29
────────────────────────────── Exercice b)
La suite est : 20, 16, 12, 8, 4, …
On remarque que :
16 = 20 – 4, 12 = 16 – 4, 8 = 12 – 4, etc.
La raison ici est d = –4.
Utilisons encore la formule : aₙ = a₁ + (n – 1) × d
Pour n = 10, avec a₁ = 20, d = –4 : a₁₀ = 20 + (10 – 1) ×
(–4)
a₁₀ = 20 + 9 × (–4)
a₁₀ = 20 – 36
a₁₀ = –16
────────────────────────────── Exercice c)
La suite proposée est : –3, –1, –4, –2, –5, …
Observons les opérations entre les termes :
De –3 à –1 : on ajoute 2.
De –1 à –4 : on soustrait 3.
De –4 à –2 : on ajoute 2.
De –2 à –5 : on soustrait 3.
Cette alternance se répète : “+2” puis “–3”.
Calculons les termes jusqu’au dixième terme :
Term1 : –3
Term2 : –3 + 2 = –1
Term3 : –1 – 3 = –4
Term4 : –4 + 2 = –2
Term5 : –2 – 3 = –5
Term6 : –5 + 2 = –3
Term7 : –3 – 3 = –6
Term8 : –6 + 2 = –4
Term9 : –4 – 3 = –7
Term10 : –7 + 2 = –5
Ainsi, le dixième terme est –5.
────────────────────────────── Exercice d)
La suite est : 1,5 ; 3 ; 4,5 ; 6 ; 7,5 ; …
On remarque que chaque fois on ajoute 1,5 :
3 – 1,5 = 1,5, 4,5 – 3 = 1,5, etc.
La raison est donc d = 1,5.
Utilisons la formule pour le dixième terme, avec a₁ = 1,5 : a₁₀ =
1,5 + (10 – 1) × 1,5
a₁₀ = 1,5 + 9 × 1,5
a₁₀ = 1,5 + 13,5
a₁₀ = 15
────────────────────────────── Exercice e)
La suite proposée est : 10, 7,5, 5, 2,5, 0, …
Chaque nombre diminue de 2,5 :
7,5 = 10 – 2,5, 5 = 7,5 – 2,5, etc.
La raison est donc d = –2,5.
Calculons le dixième terme avec a₁ = 10 : a₁₀ = 10 + (10 – 1) ×
(–2,5)
a₁₀ = 10 + 9 × (–2,5)
a₁₀ = 10 – 22,5
a₁₀ = –12,5
────────────────────────────── Conclusion
Chaque résultat a été obtenu en identifiant le mode de formation de la suite et en appliquant la formule adéquate ou en poursuivant le schéma de calcul étape par étape.