Question : Soit la fonction \(f : x \mapsto 3x + 2\).
a. Quelle est la nature de sa représentation graphique ? Justifiez votre réponse.
b. Complétez le tableau suivant.
| \(x\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| \(\boldsymbol{f}(x)\) |
c. En déduire les coordonnées de deux points appartenant à cette représentation graphique.
d. Tracez la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère.
e. Par lecture graphique, complétez le tableau de valeurs suivant.
| \(x\) | -2 | -1 | 0,5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(\boldsymbol{f}(x)\) | 5 | 8 |
f. Quelle est l’image de 2 par \(f\) ?
g. Quel nombre a pour image 5 par \(f\) ?
h. Quelle est l’image de 0,5 par \(f\) ?
i. Quelle est la préimage de -1 par \(f\) ?
j. \(f(-1, \, 0) =\)
k. \(f(2, \, 5) =\)
l. \[ \begin{cases} f(\ldots) = 3 \\ f(\ldots) = 0 \\ \end{cases} \]
Remarques :
f est une fonction affine (droite) avec f(x) = 3x + 2. On a f(0) = 2 et f(1) = 5, donc la droite passe par (0 ; 2) et (1 ; 5). Le tableau complet est :
x : –2, –1, 0,5, 1, 2
f(x) : –4, –1, 3,5, 5, 8
De plus : f(2) = 8, f(x) = 5 ⇔ x = 1, f(0,5) = 3,5, la préimage de –1 est –1, f(–1, 0) = (–1 ; 2), f(2, 5) = (8 ; 17) et les équations f(x) = 3 et f(x) = 0 donnent x = 1/3 et x = –2/3 respectivement.
Voici la correction détaillée en plusieurs parties.
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Exercice : Soit la fonction f définie par f(x) = 3x + 2.
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a. Nature de la représentation graphique
La fonction f(x) = 3x + 2 est une fonction de la forme f(x) = mx + p
avec m = 3 et p = 2.
• m (le coefficient directeur) est différent de 0.
• Cela signifie que le graphique de f est une droite orientée,
c’est-à-dire une ligne droite.
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b. Compléter le tableau pour x = 0 et x = 1
On calcule f(x) en remplaçant x par la valeur donnée :
• Pour x = 0 :
f(0) = 3 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2.
• Pour x = 1 :
f(1) = 3 × 1 + 2 = 3 + 2 = 5.
Le tableau complété devient :
x | 0 | 1
f(x) | 2 | 5
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c. Déduire deux points appartenant à la représentation graphique
D’après les calculs précédents, nous avons obtenu : • Le point A(0 ;
2)
• Le point B(1 ; 5)
Ces deux points sont sur la droite représentative de la fonction f.
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d. Tracer la représentation graphique dans un repère
Pour tracer la droite : 1. Tracez un repère avec un axe horizontal
(l’axe des abscisses) et un axe vertical (l’axe des ordonnées).
2. Placez les points A(0 ; 2) et B(1 ; 5) sur ce repère.
3. Reliez ces deux points par une droite.
Cette droite correspond à la représentation graphique de la fonction
f.
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e. Compléter par lecture graphique le tableau suivant
On vous demande de compléter le tableau de valeurs (certaines cases
restent à trouver).
Le tableau initial est :
x | –2 | –1 | 0,5 | ? | ?
f(x) | ? | ? | ? | 5 | 8
Commençons par calculer les valeurs à partir de l’expression de f :
• Pour x = –2 :
f(–2) = 3 × (–2) + 2 = –6 + 2 = –4.
• Pour x = –1 :
f(–1) = 3 × (–1) + 2 = –3 + 2 = –1.
• Pour x = 0,5 :
f(0,5) = 3 × 0,5 + 2 = 1,5 + 2 = 3,5.
Ensuite, on vérifie pour les deux dernières colonnes par lecture graphique ou par le calcul inverse de l’équation :
• Pour f(x) = 5 :
3x + 2 = 5 ⟹ 3x = 3 ⟹ x = 1.
• Pour f(x) = 8 :
3x + 2 = 8 ⟹ 3x = 6 ⟹ x = 2.
Le tableau complété est donc :
x | –2 | –1 | 0,5 | 1 | 2
f(x) | –4 | –1 | 3,5 | 5 | 8
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f. Image de 2 par f
Pour trouver l’image de 2, on calcule : f(2) = 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8.
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g. Nombre dont l’image par f est 5
On cherche x tel que f(x) = 5.
Résolvons l’équation : 3x + 2 = 5
3x = 5 – 2 = 3
x = 3 / 3 = 1.
Le nombre recherché est 1.
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h. Image de 0,5 par f
On calcule : f(0,5) = 3 × 0,5 + 2 = 1,5 + 2 = 3,5.
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i. Préimage de –1 par f
On cherche x tel que f(x) = –1 : 3x + 2 = –1
3x = –1 – 2 = –3
x = –3 / 3 = –1.
La préimage de –1 est –1.
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j. Calcul de f(–1, 0)
Ici, la notation f(–1, 0) signifie que l’on demande de calculer f pour x = –1 et pour x = 0.
• Pour x = –1 : f(–1) = 3 × (–1) + 2 = –3 + 2 = –1.
• Pour x = 0 : f(0) = 3 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2.
On peut donc écrire : f(–1, 0) = (–1 ; 2).
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k. Calcul de f(2, 5)
De même, on calcule f pour x = 2 et pour x = 5 :
• Pour x = 2 : f(2) = 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8.
• Pour x = 5 : f(5) = 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17.
Donc, f(2, 5) = (8 ; 17).
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l. Résoudre les équations suivantes :
On cherche les valeurs de x telles que :
(1) f(x) = 3
(2) f(x) = 0
Pour f(x) = 3 : 3x + 2 = 3
3x = 3 – 2 = 1
x = 1/3.
Pour f(x) = 0 : 3x + 2 = 0
3x = 0 – 2 = –2
x = –2/3.
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Conclusion
Récapitulatif des résultats obtenus :
x | –2 | –1 | 0,5 | 1 | 2
f(x) | –4 | –1 | 3,5 | 5 | 8
Cette correction détaillée présente chaque étape du raisonnement de façon claire pour vous aider à comprendre comment résoudre ce type d’exercice.