Question : Soient \(g_{1}\) et \(g_{2}\) deux fonctions linéaires telles que :
\[ g_{1}(4) = 20 \quad \text{et} \quad g_{2}(-2) = 16. \]
Détermine les fonctions \(g_{1}\) et \(g_{2}\).
De plus, \(12\,h(x)\) est une fonction affine de la forme \(c x + d\) telle que :
\[ h(-2) = -8 \quad \text{et} \quad h(2) = 4. \]
Réponse :
Les fonctions déterminées sont :
Pour déterminer les fonctions \(g_{1}\), \(g_{2}\) et \(h(x)\) décrites dans l’exercice, suivons les étapes suivantes :
Données : - \(g_{1}\) est une fonction linéaire. - \(g_{1}(4) = 20\).
Étapes :
Forme générale d’une fonction linéaire :
Une fonction linéaire peut s’écrire sous la forme : \[ g_{1}(x) = a x + b \] où \(a\) est la pente et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Utilisation de la donnée \(g_{1}(4) = 20\) :
En remplaçant \(x\) par 4 dans l’expression de \(g_{1}(x)\), on obtient : \[ 20 = a \cdot 4 + b \quad \Rightarrow \quad 4a + b = 20 \quad \text{(Équation 1)} \]
Détermination de \(a\) et \(b\) :
Étant donné qu’une fonction linéaire est déterminée par deux points, mais ici nous n’avons qu’un seul point, on peut supposer que \(b = 0\) si aucune autre information n’est fournie. Cependant, pour être rigoureux, il est possible que l’exercice attende de simplement exprimer \(g_{1}(x)\) en fonction de \(a\).
Si l’on suppose que \(b = 0\) (fonction linéaire passant par l’origine), alors : \[ 4a = 20 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \]
Donc, la fonction \(g_{1}\) s’écrit : \[ g_{1}(x) = 5x \]
Remarque : Si d’autres informations étaient fournies, il serait possible de déterminer \(b\) de manière plus précise.
Données : - \(g_{2}\) est une fonction linéaire. - \(g_{2}(-2) = 16\).
Étapes :
Forme générale d’une fonction linéaire :
Une fonction linéaire peut s’écrire sous la forme : \[ g_{2}(x) = c x + d \] où \(c\) est la pente et \(d\) est l’ordonnée à l’origine.
Utilisation de la donnée \(g_{2}(-2) = 16\) :
En remplaçant \(x\) par -2 dans l’expression de \(g_{2}(x)\), on obtient : \[ 16 = c \cdot (-2) + d \quad \Rightarrow \quad -2c + d = 16 \quad \text{(Équation 2)} \]
Détermination de \(c\) et \(d\) :
Comme précédemment, avec une seule équation et deux inconnues, on ne peut déterminer qu’une relation entre \(c\) et \(d\). Si l’on suppose que \(g_{2}(0) = d\), et sans information supplémentaire, il est difficile de préciser davantage.
Toutefois, si l’on suppose que l’ordonnée à l’origine est nulle (\(d = 0\)), alors : \[ -2c = 16 \quad \Rightarrow \quad c = -8 \]
Ainsi, la fonction \(g_{2}\) serait : \[ g_{2}(x) = -8x \]
Remarque : Cette détermination repose sur l’hypothèse que \(d = 0\). Si d’autres informations étaient disponibles, une détermination plus précise serait possible.
Données : - \(12\,h(x)\) est une fonction affine de la forme \(c x + d\). - \(h(-2) = -8\). - \(h(2) = 4\).
Étapes :
Expression de \(12\,h(x)\) :
Puisque \(12\,h(x)\) est affine, on peut l’écrire : \[ 12\,h(x) = c x + d \]
Expressions des valeurs de \(h(x)\) :
Pour \(x = -2\) : \[ 12\,h(-2) = 12 \cdot (-8) = -96 = c \cdot (-2) + d \quad \Rightarrow \quad -2c + d = -96 \quad \text{(Équation 3)} \]
Pour \(x = 2\) : \[ 12\,h(2) = 12 \cdot 4 = 48 = c \cdot 2 + d \quad \Rightarrow \quad 2c + d = 48 \quad \text{(Équation 4)} \]
Système d’équations :
Nous avons le système suivant : \[ \begin{cases} -2c + d = -96 \quad \text{(Équation 3)} \\ 2c + d = 48 \quad \text{(Équation 4)} \end{cases} \]
Résolution du système :
Soustraction de l’Équation 3 de l’Équation 4 : \[ (2c + d) - (-2c + d) = 48 - (-96) \\ 4c = 144 \\ c = 36 \]
Substitution de \(c = 36\) dans l’Équation 4 : \[ 2 \cdot 36 + d = 48 \\ 72 + d = 48 \\ d = 48 - 72 \\ d = -24 \]
Expression de \(h(x)\) :
Maintenant que nous connaissons \(c\) et \(d\), revenons à l’équation initiale : \[ 12\,h(x) = 36x - 24 \]
Divisons chaque terme par 12 pour obtenir \(h(x)\) : \[ h(x) = \frac{36x - 24}{12} = 3x - 2 \]
Ainsi, la fonction affine \(h(x)\) est : \[ h(x) = 3x - 2 \]
Fonction \(g_{1}\) : \[ g_{1}(x) = 5x \]
Fonction \(g_{2}\) : \[ g_{2}(x) = -8x \]
Fonction \(h(x)\) : \[ h(x) = 3x - 2 \]