Exercice 5

Question : Soit la fonction \(f\) qui associe à tout nombre le double de ce nombre augmenté de 1.

1. Quelle est l’image de \(4\) ?

2. Détermine le nombre qui a pour image \(-3\).

3. Quel nombre a pour préimage \(7\) ?

4. Complète : \(f(\ldots\ldots\ldots) = 9\) et \(f\left(\dfrac{5}{2}\right) =\)

5. Exprime \(f(x)\).

Réponse

Résumé des réponses :

1. \(f(4) = 9\)

2. Le nombre est \(-2\)

3. Le nombre est \(3\)

4. \(f(4) = 9\) et \(f\left(\dfrac{5}{2}\right) = 6\)

5. \(f(x) = 2x + 1\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.

Enoncé de la fonction

La fonction \(f\) associe à tout nombre \(x\) le double de ce nombre augmenté de 1. On peut exprimer cette fonction de la manière suivante : \[ f(x) = 2x + 1 \]

a. Image de \(4\)

Question : Quelle est l’image de \(4\) ?

Solution :

1. Comprendre ce qu’est une image : L’image d’un nombre \(a\) par une fonction \(f\) est le résultat obtenu en remplaçant \(x\) par \(a\) dans l’expression de \(f(x)\).

2. Appliquer la fonction à \(4\) : \[ f(4) = 2 \times 4 + 1 \]

3. Calculer : \[ f(4) = 8 + 1 = 9 \]

Réponse : L’image de \(4\) est \(9\).

b. Nombre ayant pour image \(-3\)

Question : Détermine le nombre qui a pour image \(-3\).

Solution :

1. Comprendre la question : Trouver un nombre \(x\) tel que \(f(x) = -3\).

2. Écrire l’équation : \[ 2x + 1 = -3 \]

3. Isoler \(x\) : \[ 2x = -3 - 1 \\ 2x = -4 \\ x = \frac{-4}{2} \\ x = -2 \]

Réponse : Le nombre qui a pour image \(-3\) est \(-2\).

c. Nombre ayant pour préimage \(7\)

Question : Quel nombre a pour préimage \(7\) ?

Solution :

1. Comprendre la préimage : La préimage de \(7\) par la fonction \(f\) est le nombre \(x\) tel que \(f(x) = 7\).

2. Écrire l’équation : \[ 2x + 1 = 7 \]

3. Isoler \(x\) : \[ 2x = 7 - 1 \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \]

Réponse : Le nombre ayant pour préimage \(7\) est \(3\).

d. Compléter les expressions

Question : Complète : \(f(\ldots\ldots\ldots) = 9\) et \(f\left(\dfrac{5}{2}\right) =\)

Solution :

1. Première partie : Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 9\).

   • Écrire l’équation : \[ 2x + 1 = 9 \]

   • Isoler \(x\) : \[ 2x = 9 - 1 \\ 2x = 8 \\ x = \frac{8}{2} \\ x = 4 \]

   • Compléter : \[ f(4) = 9 \]

2. Deuxième partie : Calculer \(f\left(\dfrac{5}{2}\right)\).

   • Appliquer la fonction : \[ f\left(\dfrac{5}{2}\right) = 2 \times \dfrac{5}{2} + 1 \]

   • Calculer : \[ f\left(\dfrac{5}{2}\right) = 5 + 1 = 6 \]

Réponse : \[ f(4) = 9 \quad \text{et} \quad f\left(\dfrac{5}{2}\right) = 6 \]

e. Expression de \(f(x)\)

Question : Exprime \(f(x)\).

Solution :

1. Définition de la fonction : La fonction \(f\) associe à tout nombre \(x\) le double de ce nombre augmenté de 1.

2. Écrire l’expression mathématique : \[ f(x) = 2x + 1 \]

Réponse : \[ f(x) = 2x + 1 \]