Exercice 1

Tracer, dans un même système d’axes, les huit droites dont les équations sont données ci-dessous. Certaines sont parallèles ; lesquelles ?

1. \(y = -\frac{1}{2} x + 1\)
   
2. \(y = 0,5 x - 1\)
   
3. \(y = -\frac{2}{3} x - 4\)
   
4. \(y = \frac{3}{2} x - 4\)
   
5. \(y = 2 - \frac{2}{3} x\)
   
6. \(y = 2 x - 1\)
   
7. \(y = -\frac{2}{3}\)
   
8. \(y = -\frac{2}{3} x\)

Réponse

Les droites 3, 5 et 8 sont parallèles car elles ont toutes une pente de \(-\frac{2}{3}\).

Corrigé détaillé

Pour déterminer quelles droites parmi les huit données sont parallèles, suivons une démarche méthodique en identifiant les pentes de chaque droite et en comparant celles-ci.

1. Identifier les pentes de chaque droite

L’équation d’une droite est généralement de la forme \(y = m x + b\), où \(m\) représente la pente de la droite. Calculons la pente pour chaque équation donnée :

1. \(y = -\frac{1}{2} x + 1\)
   • Pente \(m_1 = -\frac{1}{2}\)
2. \(y = 0,5 x - 1\)
   • Pente \(m_2 = 0,5\)
     Remarque : \(0,5 = \frac{1}{2}\)
3. \(y = -\frac{2}{3} x - 4\)
   • Pente \(m_3 = -\frac{2}{3}\)
4. \(y = \frac{3}{2} x - 4\)
   • Pente \(m_4 = \frac{3}{2}\)
5. \(y = 2 - \frac{2}{3} x\)
   • Réarrangeons l’équation pour la mettre sous la forme standard \(y = m x + b\) :
   • \(y = -\frac{2}{3} x + 2\)
     
   • Pente \(m_5 = -\frac{2}{3}\)
6. \(y = 2 x - 1\)
   • Pente \(m_6 = 2\)
7. \(y = -\frac{2}{3}\)
   • Cette équation représente une droite horizontale où \(y\) est constant.
   • Pente \(m_7 = 0\)
8. \(y = -\frac{2}{3} x\)
   • Pente \(m_8 = -\frac{2}{3}\)

2. Comparer les pentes pour identifier les droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales. Passons en revue les pentes calculées :

• Pente \(-\frac{2}{3}\) : Droites 3, 5 et 8
• Pente \(-\frac{1}{2}\) : Droite 1
• Pente \(\frac{1}{2}\) : Droite 2
• Pente \(\frac{3}{2}\) : Droite 4
• Pente \(2\) : Droite 6
• Pente \(0\) : Droite 7

3. Conclusion

Les droites ayant la même pente sont parallèles. Ainsi, les droites suivantes sont parallèles entre elles :

• Droite 3 : \(y = -\frac{2}{3} x - 4\)
• Droite 5 : \(y = -\frac{2}{3} x + 2\)
• Droite 8 : \(y = -\frac{2}{3} x\)

Ces trois droites possèdent la pente \(m = -\frac{2}{3}\), donc elles sont parallèles.