Exercices corrigés de Fonctions constantes, linéaires et affines et problèmes - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 65/100

Voici seize fonctions définies comme suit :

$$ f_1 : x \longmapsto 3x + 7, \quad f_2 : x \longmapsto x - 2, \quad f_3 : x \longmapsto -4, \quad f_4 : x \longmapsto x^2 $$

$$ f_5 : x \longmapsto -7x, \quad f_6 : x \longmapsto \frac{1}{2}x, \quad f_7 : x \longmapsto 10x - 9, \quad f_8 : x \longmapsto 7 $$

$$ f_9 : x \longmapsto 2, \quad f_{10} : x \longmapsto \frac{1}{x}, \quad f_{11} : x \longmapsto -2x^2 + x, \quad f_{12} : x \longmapsto \pi x + \sqrt{2} $$

$$ f_{13} : x \longmapsto -\frac{1}{3}x^2, \quad f_{14} : x \longmapsto 15x, \quad f_{15} : x \longmapsto \sin x, \quad f_{16} : x \longmapsto |x| $$

Questions :

a) Lesquelles parmi ces fonctions ont un graphique sous forme d'une droite dans le plan cartésien ?

b) Parmi ces fonctions en forme de ligne, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

c) Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions constantes ?

d) Distinguez lesquelles parmi les fonctions proposées sont des fonctions affines.

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Exercice 4

Difficulté : 65/100

La droite $f$ représente la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 7$. La droite $g$ est celle de la fonction $g$ définie par $g(x) = 3x + 5$.

a) Quelle propriété géométrique ont ces deux droites ? Sont-elles parallèles ? Explique ta réponse.

b) Traçons les deux droites afin de vérifier la réponse à la question précédente. Dessine leurs représentations graphiques.

c) Maintenant, considérons une nouvelle droite $h$, définie comme parallèle à la droite $g$ et passant par le point $(0, 10)$. Trouve l'expression mathématique de la droite $h$ sans effectuer de graphiques.

d) Détermine l'expression mathématique de la droite $i$, qui est définie comme ayant une pente de $5$ et passant par le point $(1, -15)$.

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Exercice 5

Difficulté : 70/100

Voici les tarifs de différentes connexions à internet en fonction de la consommation de données :

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Exercice 8

Difficulté : 60/100

a) Complète les tableaux suivants en y ajoutant les valeurs manquantes.

Fonction $f : x \longmapsto$

$x$ -3 -2 -1 0 1 3
$f(x)$ 10 15 20 40

Fonction $g : x \longmapsto$

$x$ -3 -1 0 1 2 4
$g(x)$ 4 10 15 35

Fonction $h : x \longmapsto$

$x$ -5 -3 0 1 3 5
$h(x)$ 5 10 27

Fonction $i : x \longmapsto$

$x$ -2 -1 0 2 4 6
$i(x)$ 8 12 49

b) Pour chaque fonction, détermine son expression analytique $f(x)$ et décrit son comportement: s'agit-il d'une fonction linéaire, quadratique, exponentielle, ou autre?

c) Trace les graphiques des quatre fonctions dans un système d'axes communs et compare leurs variations.

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Exercice 9

Difficulté : 60/100

Complétez le tableau suivant pour analyser les caractéristiques des fonctions :

Fonction Type Pente Ordonnée à l'origine Croissance
$x \mapsto 4x - 2$
$x \mapsto -x + 7$
$x \mapsto 5$
$x \mapsto -\frac{5}{6}x + 3$
$x \mapsto x\sqrt{3} - 4$
$x \mapsto \frac{x}{4}$
$x \mapsto 2x$

Analysez les propriétés des fonctions ci-dessous :

Fonction Type Pente Ordonnée à l'origine Croissance
$x \mapsto -\frac{1}{2}x + 8$
$x \mapsto \frac{4}{5}x - 2$
$x \mapsto \frac{15}{14}$
$x \mapsto 2 - x$
$x \mapsto x^2 - 3$

Représentez graphiquement ces fonctions :

$$ f(x) = \frac{5}{x}, \quad g(x) = -x^3 + 2 $$

Esquissez la représentation graphique de la fonction $h(x) = -2x - 6$ en traçant sa pente et son point initial sur le quadrillage donné.

Trouvez les expressions fonctionnelles des cas suivants :

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Exercice 10

Difficulté : 65/100

Le couple $(2 ; -3)$ appartient à la représentation graphique d'une fonction linéaire $ f $, ce qui signifie $ f(2) = -3 $. Trouve les valeurs suivantes de $ f $ :

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Exercice 11

Difficulté : 60/100

Partie a)

Complète le tableau ci-dessous pour la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{1}{x}$, puis représente graphiquement la fonction.

$x$ $f(x)$
-4
-1
0,5
1
2
4

Partie b)

Quel est le domaine de définition de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ ?

Quel est l'ensemble des valeurs possibles pour cette fonction ?

Partie c)

Propose une fonction $g(x)$ différente de $f(x)$ mais telle que $g(x)$ ne soit pas définie pour $x = 0$.

Partie d)

Voici quatre fonctions exponentielles représentées dans un plan :

  1. $h(x) = 2^x$

  2. $i(x) = 3^x$

  3. $j(x) = 0.5^x$

  4. $k(x) = 0.1^x$

Détermine le comportement (croissance ou décroissance) de chaque fonction pour des valeurs croissantes de $x$, puis identifie la fonction correspondant à chaque courbe représentée ci-dessous.

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Exercice 13

Difficulté : 68/100

Dans ce problème, les fonctions $p$ et $q$ sont définies par les tableaux suivants:

Fonction $p$ :

$x$ -3 1 4
$p(x)$ 7 2 -5

Fonction $q$ :

$x$ -3 1 4
$q(x)$ -8 -3 1

Réponds aux questions ci-dessous :

1. Représentation graphique:

a) Trace les graphes des fonctions $p$ et $q$ à partir des tableaux de valeurs donnés.

2. Vérification de points:

Détermine si les points suivants appartiennent au graphe d'une des fonctions $p$ ou $q$. Indique s'ils y appartiennent et à laquelle :

3. Compléter les coordonnées de points:

Donne les coordonnées des points $R$, $S$, et $T$ appartenant à la courbe de $p$ :

4. Nouvelles fonctions:

a) Fonction $l(x) = x - 2$

Complète le tableau suivant :

$x$ -1 0 3
$l(x)$ ___ ___ ___

b) Fonction $m(x) = -4x$

Complète le tableau suivant :

$x$ -1 0 3
$m(x)$ ___ ___ ___

Enfin, représente graphiquement $l$ et $m$.

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Exercice 14

Difficulté : 65/100

Voici seize fonctions définies comme suit :

$$ f_1 : x \longmapsto 5x - 12, \quad f_2 : x \longmapsto -x + 3, \quad f_3 : x \longmapsto -8, \quad f_4 : x \longmapsto x^3 $$

$$ f_5 : x \longmapsto 6x, \quad f_6 : x \longmapsto \frac{3}{4}x, \quad f_7 : x \longmapsto -7x + 5, \quad f_8 : x \longmapsto -2 $$

$$ f_9 : x \longmapsto 5, \quad f_{10} : x \longmapsto \cos x, \quad f_{11} : x \longmapsto -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1, \quad f_{12} : x \longmapsto e x - \sqrt{5} $$

$$ f_{13} : x \longmapsto x^2 - 1, \quad f_{14} : x \longmapsto -x, \quad f_{15} : x \longmapsto \tan x, \quad f_{16} : x \longmapsto |x| - 3 $$

Questions :

a) Lesquelles parmi ces fonctions ont un graphique sous forme d'une droite dans le plan cartésien ?

b) Parmi ces fonctions en forme de ligne, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

c) Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions constantes ?

d) Distinguez lesquelles parmi les fonctions proposées sont des fonctions affines.

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Exercice 15

Difficulté : 65/100

Partie 1 :

Considérons les quatre fonctions suivantes et leurs tableaux de valeurs correspondants :

  1. $ \gamma(x) = x + 6 $

  2. $ \delta(x) = -2x $

  3. $ \eta(x) = x^2 - 1 $

  4. $ \theta(x) = 4x + 3 $

a) Identifie pour chaque tableau la fonction qui lui correspond en complétant la première ligne.

b) Complète les tableaux de valeurs ci-dessous en calculant les valeurs manquantes.

c) Représente graphiquement chacune des fonctions.

Tableaux de valeurs :

$ x $ $ \gamma(x) $
-3 3
-1
0
1
2
4
$ x $ $ \delta(x) $
-2
-1 3
0
1 -1
2
3

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Exercice 16

Difficulté : 45/100

Voici cinq équations de droites :

  1. $y = -\frac{2}{3}x + 5$

  2. $y = 2x - 6$

  3. $y = -4x + 9$

  4. $y = 0.5x - 8$

  5. $y = -x + 4$

Questions :

  1. Associe chacune de ces droites à une des informations suivantes en fonction de leur pente et de leur ordonnée à l'origine :

  2. Droite décroissante avec pente de $-4$.

  3. Droite croissante avec pente de $0.5$.

  4. Droite décroissante avec pente de $-1$.

  5. Droite croissante avec pente de $2$.

  6. Droite décroissante avec pente de $-\frac{2}{3}$.

  7. Complète le tableau suivant pour chaque droite :

Droite Pente ($m$) Ordonnée à l'origine ($b$) Sens de variation
$y = -\frac{2}{3}x + 5$
$y = 2x - 6$
$y = -4x + 9$
$y = 0.5x - 8$
$y = -x + 4$

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Exercice 17

Difficulté : 55/100

$p$, $q$, $r$ et $s$ sont quatre fonctions définies par les données suivantes :

$p$ $q$ $r$ $s$
$3 \rightarrow 12$ $7 \rightarrow -14$ $2 \rightarrow 0.2$ $4 \rightarrow 16$
$5 \rightarrow 20$ $-4 \rightarrow 8$ $6 \rightarrow 0.6$ $9 \rightarrow 81$
$-2 \rightarrow -8$ $10 \rightarrow -20$ $-3 \rightarrow -0.3$ $-5 \rightarrow 25$

a) Ces fonctions sont-elles toutes affines ?

b) Si possible, détermine la formule explicite de chacune de ces fonctions.

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Exercice 18

Difficulté : 65/100

Considérons les fonctions $p$, $q$, $r$ et $s$ qui sont linéaires. Parmi les points donnés, détermine pour chaque fonction la paire de valeurs qui ne respecte pas la linéarité.

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Exercice 19

Difficulté : 45/100

$m$, $n$ et $p$ sont trois fonctions. Détermine laquelle de ces fonctions est linéaire et trouve son coefficient directeur.

$m$ $n$ $p$
$-3 \longmapsto 5$ $1 \longmapsto 1$ $\frac{1}{2} \longmapsto 2$
$0 \longmapsto 2$ $3 \longmapsto 9$ $-4 \longmapsto 0$
$1 \longmapsto 3$ $5 \longmapsto 25$ $0 \longmapsto -3$
$7 \longmapsto 9$ $8 \longmapsto 64$ $6 \longmapsto 3$

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Exercice 21

Difficulté : 55/100

Détermine les équations fonctionnelles des lignes rectilignes suivantes :

a) La ligne $p$ passe par le point $(0, 1)$ et forme un angle de $60^\circ$ avec l'axe horizontal.

b) La ligne $q$ coupe l'axe vertical au point $(0, 4)$ et présente une pente de $200\%$, ce qui équivaut à $2$ d'un point de vue numérique.

c) La ligne $r$ intercepte l'axe vertical au niveau de $3$ unités au-dessous de l'origine ($-3$) et possède une pente égale à $1$.

d) La ligne $s$ passe par le point $(0, 2)$ et affiche une pente de $-\frac{1}{3}$.

e) La ligne $t$ est déterminée par les points $(0, 1)$ et $(1, -1)$.

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Exercice 22

Difficulté : 60/100

Tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes dans un repère orthonormé en vous basant sur leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine :

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Exercice 23

Difficulté : 54/100

Reproduis la représentation graphique de la fonction $f : x \longmapsto 3x - 2$ dans ton cahier.

Ensuite, sans ajouter de graduations, trace les représentations graphiques des fonctions suivantes :

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Exercice 24

Difficulté : 65/100

Écrivez les équations des droites qui passent par les points suivants :

  1. Trouver l'équation de la droite passant par les points de coordonnées $(2, 3)$ et $(5, 11)$.

  2. Identifier l'équation de la droite passant par les points de coordonnées $(4, -1)$ et $(7, 5)$.

  3. Déterminer l'équation de la droite passant par les points de coordonnées $(-3, 4)$ et $(1, 0)$.

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Exercice 25

Difficulté : 35/100

Soit une relation fonctionnelle définie par une boîte noire associant à tout nombre $x$ le résultat donné par la fonction $h(x) = 2x + 4$.

Consignes :

  1. Complétez le tableau suivant en calculant les valeurs de $h(x)$ pour les valeurs données de $x$.

  2. Exprimez les propriétés principales de la fonction $h(x) = 2x + 4$, comme :

  3. Le coefficient de la variable $x$

  4. L'ordonnée à l'origine

  5. Dessinez le graphe de $h(x)$ sur un plan cartésien en traçant les points équilibrés à partir de votre tableau des valeurs.

  6. Déterminez si cette fonction représente une relation linéaire proportionnelle ou non.

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Exercice 27

Difficulté : 67/100

Si la transformation T(x) = 2x + 3 est définie sur l’ensemble des entiers naturels, alors trouve l’image des valeurs suivantes : 5, 14, 37, 24, et 12.

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Exercice 28

Difficulté : 54/100

Identifie, si possible, l'expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant pour chaque cas, puis esquisse leur graphique.

a) Le temps de remplissage d'un réservoir cylindrique en fonction du débit constant d'un tuyau.

b) La circonférence d'un cercle en fonction de son diamètre.

c) L'aire d'un cercle en fonction de son rayon.

d) Le volume d'un cône en fonction de sa hauteur.

e) La vitesse moyenne d'une voiture en fonction de la distance parcourue et du temps mis.

f) La somme des angles internes en fonction du nombre de côtés d'un polygone régulier.

g) Le coût total payé en fonction de la quantité achetée à un prix fixe.

h) La masse d'un cube en fonction de la densité et de l'arête.

i) Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur d'une de ses arêtes.

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Exercice 29

Difficulté : 51/100

Nous proposons trois options pour un total de 30 jours de trajets domicile-travail :

b) Considérons les fonctions suivantes représentant le coût en fonction du nombre de trajets $ x $ :
- $ f(x) $ : coût de l'option A
- $ g(x) $ : coût de l'option B
- $ h(x) $ : coût de l'option C

Tracer les graphiques de $ f(x) $, $ g(x) $ et $ h(x) $ pour $ x \in [0,30] $.

  1. Comparaison des options
    c) À l'aide des graphes, déterminer quelle option est la plus économique en fonction du nombre total de jours de trajets effectués.

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Exercice 30

Difficulté : 58/100

Exercices sur les fonctions linéaires et leur représentation graphique

Question 1 : Identifiez les fonctions $h$ et $m$ associées aux tableaux suivants :

Fonction $h$ :

$x$ -2 0 3
$2x - 1$ -5 -1 5

Fonction $m$ :

$x$ -2 0 3
$-3x + 4$ 10 4 -5

Travail demandé :

a) Représenter graphiquement les fonctions $h$ et $m$ basées sur les deux tableaux précités.

b) Déterminer quels points des suivants appartiennent à l'une des fonctions. Identifier la fonction correspondante si applicable : $P(-2; -4)$, $Q(2; -3)$, $R(0; 4)$, $S(3; -5)$.

c) Compléter les coordonnées des points nécessaires appartenant à $m$ en résolvant les équations suivantes : $A(-1; \, \, )$, $(\, \,; -2)$, $C(2; \, \, )$.

Représenter graphiquement les deux fonctions $h$ et $m$ en utilisant les coordonnées établies.

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Exercice 31

Difficulté : 60/100

Associez chaque équation donnée aux graphiques correspondants:

  1. $ f(x) \mapsto 3x + 2 $

  2. $ f(x) \mapsto -5 $

  3. $ f(x) \mapsto x^2 - 4x + 4 $

  4. $ f(x) \mapsto -x + 7 $

Comparez-les aux graphes $ A, B, C, D $ présentés.

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Exercice 32

Difficulté : 60/100

Dans un système d'axes, tracez les représentations graphiques de la distance en fonction du temps pour chacune des situations suivantes :

1. Claire se rend au marché en vélo, puis elle marche pour visiter les étals le long du chemin.

2. Martin voyage en train pour aller voir sa famille, mais le train fait un arrêt imprévu en chemin avant d'atteindre la destination.

3. Julie sort pour courir un marathon. Elle commence à un rythme soutenu, ralentit dans les montées, et termine en sprint avant de retrouver ses amis.

4. Paul démarre sa promenade en voiture, s'arrête le temps de prendre une photographie, puis part rejoindre un parc à quelques kilomètres de là.

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Exercice 33

Difficulté : 45/100

Emma doit retrouver l'expression de la fonction affine $f(x)$ en utilisant les informations visibles sur le tableau de valeurs. Propose une méthode pour identifier la pente et l'ordonnée à l'origine de cette fonction.

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Exercice 34

Difficulté : 45/100

Dessinez les représentations graphiques des fonctions $h(x) = \frac{1}{2}x - 4$ et $k(x) = -x + 2$ uniquement en utilisant leur pente et leur ordonnée à l'origine.

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Exercice 35

Difficulté : 50/100

a) Propose une méthode pour déterminer rapidement l'équation d'une droite en utilisant deux points $P(x_1 ; y_1)$ et $Q(x_2 ; y_2)$ appartenant à sa représentation graphique dans un plan cartésien.

b) Applique cette méthode pour déterminer l'équation de la droite passant par les points $R(-2 ; -4)$ et $S(3 ; 6)$.

c) Détermine les coordonnées du point où cette droite intersecte l'axe des ordonnées.

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Exercice 36

Difficulté : 40/100

Considérons les fonctions suivantes :

  1. $a : x \longmapsto 2$

$b : x \longmapsto -2x$

a) Tracez la représentation graphique des deux fonctions dans un système de coordonnées commun.

b) Résolvez $a(x) = b(x)$ et donnez les solutions pour $x$.

  1. Effectuez de même (tracé et résolution des solutions) pour les couples de fonctions suivants :

  2. $c : x \longmapsto x + 1$ et $d : x \longmapsto -x$

  3. $e : x \longmapsto 2x + 3$ et $f : x \longmapsto -x$

  4. $g : x \longmapsto 3x - 1$ et $h : x \longmapsto -2x + 5$

  5. $i : x \longmapsto x^2$ et $j : x \longmapsto -x^2 + 4$

  6. $k : x \longmapsto 2x^2$ et $l : x \longmapsto -x^2 + 6$

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Exercice 37

Difficulté : 55/100

Le couple de nombres $(9, 2)$ appartient à la représentation graphique d'une fonction linéaire $g$, c'est-à-dire que $g(9) = 2$.

Trouve les valeurs suivantes de $g$ :

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Exercice 38

Difficulté : 60/100

a) Complète le tableau suivant pour la fonction $f(x) = \frac{2}{x}$, puis trace graphiquement cette fonction.

$x$ $f(x)$
$-4$
$-1$
$0.5$
$1$
$2$
$4$

b) Quelle est la valeur de $f(x)$ lorsque $x = -2$ ?

c) Détermine le domaine de définition de la fonction $f(x)$.

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Exercice 39

Difficulté : 60/100

Voici quatre fonctions :

a) Complète la première ligne de chaque tableau en précisant la fonction qui lui correspond.

b) Complète les valeurs manquantes dans chacun des tableaux.

c) Trace les représentations graphiques des fonctions.

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Exercice 40

Difficulté : 70/100

Les deux fonctions $a$ et $b$ sont définies respectivement par les expressions suivantes :

a) Trouve l'ensemble des antécédents de 4 par $a$ et $b$.

b) Détermine les coordonnées des points d'intersection des courbes des fonctions $a$ et $b$ avec l'axe des abscisses.

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Exercice 41

Difficulté : 65/100

Voici huit fonctions définies comme suit :

$$ g_1 : x \longmapsto 5x - 3, \quad g_2 : x \longmapsto x^2, \quad g_3 : x \longmapsto 3, \quad g_4 : x \longmapsto -\frac{1}{2}x $$

$$ g_5 : x \longmapsto \frac{1}{x}, \quad g_6 : x \longmapsto 7x + \sqrt{5}, \quad g_7 : x \longmapsto |x|, \quad g_8 : x \longmapsto -4x^2 $$

Questions :

a) Lesquelles parmi ces fonctions ont un graphique sous forme d'une droite dans le plan cartésien ?

b) Parmi ces fonctions en forme de ligne, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

c) Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions constantes ?

d) Distinguez lesquelles parmi les fonctions proposées sont des fonctions affines.

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Exercice 42

Difficulté : 56/100

Déterminez les fonctions possibles respectant les contraintes données ci-dessous :

(a) Trouvez une fonction linéaire, une fonction affine, et une fonction quadratique respectant la condition $f(2) = 5$.

(b) Répétez la recherche, sous la contrainte additionnelle $f(3) = 8$.

(c) Ajoutez enfin la contrainte supplémentaire $f(0) = 1$ et trouvez si des fonctions satisfont désormais ces conditions.

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Exercice 43

Difficulté : 45/100

Représente graphiquement les fonctions $f$ et $h$ définies par les tableaux suivants :

Fonction $f$ :

$x$ -2 1 3
$f(x)$ 4 -1 2

Fonction $h$ :

$x$ -2 1 3
$h(x)$ 9 5 12

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Exercice 45

Difficulté : 65/100

Voici seize fonctions définies comme suit :

$$ f_1 : x \longmapsto 5x - 3, \quad f_2 : x \longmapsto x + 4, \quad f_3 : x \longmapsto 6, \quad f_4 : x \longmapsto x^2 + 1 $$

$$ f_5 : x \longmapsto -2x, \quad f_6 : x \longmapsto \frac{3}{4}x, \quad f_7 : x \longmapsto 4x + 2, \quad f_8 : x \longmapsto 12 $$

$$ f_9 : x \longmapsto -1, \quad f_{10} : x \longmapsto \frac{2}{x+1}, \quad f_{11} : x \longmapsto x^3 - x, \quad f_{12} : x \longmapsto e^x $$

$$ f_{13} : x \longmapsto -x^2 + 2x, \quad f_{14} : x \longmapsto -8x, \quad f_{15} : x \longmapsto \tan x, \quad f_{16} : x \longmapsto \lceil x \rceil $$

Questions:

a) Lesquelles parmi ces fonctions ont un graphique sous forme d'une droite dans le plan cartésien ?

b) Parmi ces fonctions en forme de ligne, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

c) Parmi ces fonctions, lesquelles sont des fonctions constantes ?

d) Distinguez lesquelles parmi les fonctions proposées sont des fonctions affines.

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Exercice 47

Difficulté : 44/100

Complète.

Expression française Expression fonctionnelle
a) « doubler » $x \longmapsto 2x$
b) « tripler, puis retrancher 5 » $x \longmapsto 3x - 5$
c) « ajouter 4 » $x \longmapsto x + 4$
d) « diviser par 3, puis soustraire 2 » $x \longmapsto \frac{x}{3} - 2$
e) « retrancher 2, puis multiplier par 6 » $x \longmapsto 6(x - 2)$
f) « élever au carré » $x \longmapsto x^{2}$
g) « enlever 4, puis élever au cube » $x \longmapsto (x - 4)^3$
h) « multiplier par 8 après avoir ajouté 20 » $x \longmapsto 8(x + 20)$
i) « multiplier par 9, puis quadrupler » $x \longmapsto 4(9x) = 36x$
j) « diviser par 2, puis prendre la racine carrée » $x \longmapsto \sqrt{\frac{x}{2}}$

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