Exercice 90

1. Factorisez l’expression suivante : \(a^{3} - 3a^{2}b - a b^{3} + 3 b^{4}\).

2. Factorisez l’expression suivante : \(7 a^{7} + 7 a^{3} b^{3} - 3 a^{4} b^{4} - 3 b^{7}\).

3. Factorisez l’expression suivante : \(3 x^{5} + 3 x^{3} y^{2} - x^{2} y - y^{3}\).

4. Factorisez l’expression suivante : \(3 a^{7} - 3 a^{3} - a^{4} b + b\).

5. Factorisez l’expression suivante : \(-2 x^{3} + 2 x y^{3} - x^{2} y + y^{4}\).

6. Factorisez l’expression suivante : \(28 a^{9} - 14 a^{4} b^{6} - 48 a^{5} b + 24 b^{7}\).

Réponse

1. (a – 3b)(a² – b³)
   
2. (a⁴ + b³)(7a³ – 3b⁴)
   
3. (x² + y²)(3x³ – y)
   
4. (a⁴ – 1)(3a³ – b)
   
5. (2x + y)(y³ – x²)
   
6. 2(7a⁴ – 12b)(2a⁵ – b⁶)

Corrigé détaillé

Voici ci‑dessous la correction détaillée de chaque exercice en expliquant étape par étape la démarche utilisée.

────────────────────────────── Exercice 1. Factoriser l’expression
  a³ – 3a²b – ab³ + 3b⁴

1. Regroupons les termes de manière à extraire des facteurs communs :
     (a³ – 3a²b) + (–ab³ + 3b⁴).

2. Dans le premier groupe, on remarque que a² est facteur commun :
     a²(a – 3b).

3. Dans le second groupe, on peut extraire –b³ comme facteur commun :
     –b³(a – 3b).
     (On a en effet –b³·a = –ab³ et –b³·(–3b) = 3b⁴.)

4. On retrouve le facteur (a – 3b) dans les deux termes, on le factorise :
     (a – 3b)(a² – b³).

Ainsi, la factorisation de l’expression est :
  (a – 3b)(a² – b³).

────────────────────────────── Exercice 2. Factoriser l’expression
  7a⁷ + 7a³b³ – 3a⁴b⁴ – 3b⁷

1. Regroupons les termes en deux parties :
     (7a⁷ + 7a³b³) + (–3a⁴b⁴ – 3b⁷).

2. Dans le premier groupe, on remarque que 7a³ est commun :
     7a³(a⁴ + b³).

3. Dans le second groupe, on peut factoriser –3b⁴ :
     –3b⁴(a⁴ + b³).
     (Vérifions : –3b⁴·a⁴ = –3a⁴b⁴ et –3b⁴·b³ = –3b⁷.)

4. On factorise désormais (a⁴ + b³) :
     (a⁴ + b³)(7a³ – 3b⁴).

La factorisation de l’expression est donc :
  (a⁴ + b³)(7a³ – 3b⁴).

────────────────────────────── Exercice 3. Factoriser l’expression
  3x⁵ + 3x³y² – x²y – y³

1. Regroupons les termes de façon judicieuse :
     (3x⁵ + 3x³y²) + (–x²y – y³).

2. Dans le premier groupe, le facteur commun est 3x³ :
     3x³(x² + y²).

3. Dans le second groupe, on factorise –y :
     –y(x² + y²).
     (On a –y·x² = –x²y et –y·y² = –y³.)

4. Le facteur (x² + y²) est commun aux deux groupes. En le factorisant, on obtient :
     (x² + y²)(3x³ – y).

La factorisation de l’expression est :
  (x² + y²)(3x³ – y).

────────────────────────────── Exercice 4. Factoriser l’expression
  3a⁷ – 3a³ – a⁴b + b

1. Regroupons les termes en deux parties :
     (3a⁷ – 3a³) + (–a⁴b + b).

2. Dans le premier groupe, le facteur commun est 3a³ :
     3a³(a⁴ – 1).

3. Dans le second groupe, on factorise b (en remarquant le signe opposé) :
     –a⁴b + b = –b(a⁴ – 1).
     (Vérifions : –b·a⁴ = –a⁴b et –b·(–1) = b.)

4. On reconnaît alors le facteur (a⁴ – 1) commun aux deux parties :
     (a⁴ – 1)(3a³ – b).

La factorisation de l’expression est ainsi :
  (a⁴ – 1)(3a³ – b).
  Remarque : On peut remarquer que a⁴ – 1 est une différence de deux carrés qui se factorise en (a² – 1)(a² + 1), et a² – 1 se factorise lui-même en (a – 1)(a + 1), mais cette décomposition n’est pas obligatoire ici.

────────────────────────────── Exercice 5. Factoriser l’expression
  –2x³ + 2xy³ – x²y + y⁴

1. Il est souvent utile de regrouper les termes par paires. Réorganisons l’expression en regroupant les termes qui partagent un facteur commun :
     (–2x³ – x²y) + (2xy³ + y⁴).

2. Dans le premier groupe, on factorise –x² :
     –x²(2x + y).
     (Vérifions : –x²·2x = –2x³ et –x²·y = –x²y.)

3. Dans le second groupe, on peut extraire y³ comme facteur commun :
     y³(2x + y).
     (Vérifions : y³·2x = 2xy³ et y³·y = y⁴.)

4. Le facteur (2x + y) est commun aux deux groupes, ce qui permet d’écrire :
     (2x + y)(y³ – x²).

La factorisation de l’expression est donc :
  (2x + y)(y³ – x²).

────────────────────────────── Exercice 6. Factoriser l’expression
  28a⁹ – 14a⁴b⁶ – 48a⁵b + 24b⁷

1. Nous allons regrouper les termes de façon à extraire des facteurs communs dans chacun des groupes. Regroupons en deux groupes en faisant attention aux termes ayant des puissances semblables :
     (Groupe 1) : 28a⁹ – 48a⁵b
     (Groupe 2) : –14a⁴b⁶ + 24b⁷

2. Dans le Groupe 1, le facteur commun est 4a⁵ :
     28a⁹ – 48a⁵b = 4a⁵(7a⁴ – 12b).

3. Dans le Groupe 2, le facteur commun est 2b⁶. Attention aux signes :
     –14a⁴b⁶ + 24b⁷ = 2b⁶(–7a⁴ + 12b).
     On peut écrire –7a⁴ + 12b = –(7a⁴ – 12b) afin de mettre en évidence un facteur identique au Groupe 1.

4. Ainsi, le Groupe 2 s’écrit :
     –2b⁶(7a⁴ – 12b).

5. On regroupe ensuite les deux résultats :
     4a⁵(7a⁴ – 12b) – 2b⁶(7a⁴ – 12b).

6. Le facteur (7a⁴ – 12b) est présent dans les deux termes. On le factorise :
     (7a⁴ – 12b)(4a⁵ – 2b⁶).

7. On remarque que dans (4a⁵ – 2b⁶), il est possible d’extraire 2 comme facteur commun :
     4a⁵ – 2b⁶ = 2(2a⁵ – b⁶).

8. La factorisation complète devient alors :
     2(7a⁴ – 12b)(2a⁵ – b⁶).

Ainsi, la factorisation finale de l’expression est :
  2(7a⁴ – 12b)(2a⁵ – b⁶).

────────────────────────────── Récapitulatif des factorisations :

1. a³ – 3a²b – ab³ + 3b⁴ = (a – 3b)(a² – b³).

2. 7a⁷ + 7a³b³ – 3a⁴b⁴ – 3b⁷ = (a⁴ + b³)(7a³ – 3b⁴).

3. 3x⁵ + 3x³y² – x²y – y³ = (x² + y²)(3x³ – y).

4. 3a⁷ – 3a³ – a⁴b + b = (a⁴ – 1)(3a³ – b).

5. –2x³ + 2xy³ – x²y + y⁴ = (2x + y)(y³ – x²).

6. 28a⁹ – 14a⁴b⁶ – 48a⁵b + 24b⁷ = 2(7a⁴ – 12b)(2a⁵ – b⁶).

Chaque étape se fonde sur l’observation de facteurs communs et le regroupement judicieux des termes pour procéder à la factorisation complète. Ces démarches sont utiles pour simplifier les expressions et résoudre ultérieurement des équations ou des inéquations.