Exercice 89

Exercice de Mathématiques

  1. Observe les deux factorisations suivantes :

    1. \((x + 4)(x^{2} + 1) + (24 - 3x)(x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)(-2x + 28)\)

    2. \((x + 4)(x^{2} + 1) - (19 - 3x)(x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)(4x - 15)\)

    Décris et explique les procédures utilisées pour passer de l’expression de gauche à celle de droite.

  2. Factorise les expressions suivantes :

    1. \((6 - x)(2y + 5) + (6 - x)(14 - 3y)\)

    2. \((6 - x)(2y + 5) - (6 - x)(14 - 3y)\)

    3. \((4y - 2)(3x^{2} - 4) + (y - 3)(3x^{2} - 4)\)

    4. \((3x - 1)^{2} - (3x - 1)(6x^{2} - 20y)\)

    5. \((x + 5)(y - 7) - (y - 7)\)

Réponse

1a) (x² + 1)(–2x + 28)
1b) (x² + 1)(4x – 15)

2a) (6 – x)(19 – y)
2b) (6 – x)(5y – 9)
2c) 5(3x² – 4)(y – 1)
2d) (3x – 1)(–6x² + 3x + 20y – 1)
2e) (y – 7)(x + 4)

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des questions en détaillant les étapes et en expliquant clairement la logique utilisée pour passer d’une expression à une autre, afin que tout soit compréhensible.

─────────────────────────────
1) Analyse des factorisations données

  1. Expression de départ :
      (x + 4)(x² + 1) + (24 – 3x)(x² + 1)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
  On remarque que chaque terme de l’expression contient (x² + 1).
  On peut donc écrire :
    (x² + 1) × (x + 4) + (x² + 1) × (24 – 3x)

Étape 2 : Factoriser (x² + 1)
  On met (x² + 1) en facteur commun :
    (x² + 1)[(x + 4) + (24 – 3x)]

Étape 3 : Simplifier l’expression dans les crochets
  Calculons (x + 4) + (24 – 3x) :
    x + 4 + 24 – 3x = (x – 3x) + (4 + 24) = –2x + 28

Donc la factorisation complète est :
  (x² + 1)(–2x + 28)

  1. Expression de départ :
      (x + 4)(x² + 1) – (19 – 3x)(x² + 1)

Les deux étapes sont similaires à la partie a).

Étape 1 : Identifier le facteur commun
  Chaque terme contient (x² + 1).
  On écrit :
    (x² + 1)(x + 4) – (x² + 1)(19 – 3x)

Étape 2 : Factoriser (x² + 1)
  On extrait (x² + 1) :
    (x² + 1)[(x + 4) – (19 – 3x)]

Étape 3 : Simplifier l’expression dans les crochets
  Calculons (x + 4) – (19 – 3x) :
    x + 4 – 19 + 3x = (x + 3x) + (4 – 19) = 4x – 15

Donc la factorisation complète est :
  (x² + 1)(4x – 15)

─────────────────────────────
2) Factorisation d’expressions données

  1. Expression à factoriser :
      (6 – x)(2y + 5) + (6 – x)(14 – 3y)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
  On remarque que le facteur (6 – x) est commun aux deux termes.
  On écrit donc :
    (6 – x)[(2y + 5) + (14 – 3y)]

Étape 2 : Simplifier le contenu des parenthèses
  Calculons (2y + 5) + (14 – 3y) :
    2y – 3y + 5 + 14 = –y + 19
  On peut écrire ce résultat sous la forme (19 – y).

La factorisation finale est :
  (6 – x)(19 – y)

─────────────────────────────
b) Expression à factoriser :
  (6 – x)(2y + 5) – (6 – x)(14 – 3y)

Étape 1 : Repérer le facteur commun
  Le facteur (6 – x) est présent dans chaque terme.
  On factorise donc :
    (6 – x)[(2y + 5) – (14 – 3y)]

Étape 2 : Simplifier le contenu des parenthèses
  Calculons (2y + 5) – (14 – 3y) :
    2y + 5 – 14 + 3y = (2y + 3y) + (5 – 14) = 5y – 9

La factorisation finale est :
  (6 – x)(5y – 9)

─────────────────────────────
c) Expression à factoriser :
  (4y – 2)(3x² – 4) + (y – 3)(3x² – 4)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
  On remarque que (3x² – 4) est présent dans chacun des deux termes.
  On peut écrire :
    (3x² – 4)[(4y – 2) + (y – 3)]

Étape 2 : Simplifier l’expression dans les crochets
  Calculons (4y – 2) + (y – 3) :
    4y + y – 2 – 3 = 5y – 5
  On peut remarquer que 5 est un facteur commun dans (5y – 5). On peut donc écrire :
    5y – 5 = 5(y – 1)

La factorisation complète est :
  5(3x² – 4)(y – 1)

─────────────────────────────
d) Expression à factoriser :
  (3x – 1)² – (3x – 1)(6x² – 20y)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
  Le facteur (3x – 1) est présent dans les deux termes.
  On factorise donc :
    (3x – 1)[(3x – 1) – (6x² – 20y)]

Étape 2 : Simplifier l’expression dans les crochets
  Développons l’expression :
    (3x – 1) – (6x² – 20y)
    = 3x – 1 – 6x² + 20y
  Il n’y a pas de facteur commun évident dans cette expression ; il est acceptable de laisser la factorisation sous cette forme. La factorisation finale est :
  (3x – 1)[–6x² + 3x + 20y – 1]

─────────────────────────────
e) Expression à factoriser :
  (x + 5)(y – 7) – (y – 7)

Étape 1 : Identifier le facteur commun
  Le facteur (y – 7) apparaît dans chaque terme.
  On écrit donc :
    (y – 7)[(x + 5) – 1]

Étape 2 : Simplifier l’expression dans les parenthèses
  Calculons (x + 5) – 1 :
    x + 5 – 1 = x + 4

La factorisation finale est :
  (y – 7)(x + 4)

─────────────────────────────
Résumé des procédures utilisées :

• Pour passer d’une expression donnée à une forme factorisée, nous cherchons d’abord un facteur commun présent dans tous les termes.
• Une fois identifié, on le met en facteur à l’aide de la propriété distributive (a(b + c) = ab + ac).
• Ensuite, on simplifie l’expression dans les parenthèses en effectuant les opérations (addition ou soustraction) sur les termes semblables.
• Parfois, une simplification supplémentaire (comme extraire un facteur numérique) est possible.

Ces étapes assurent une factorisation propre et permettent de transformer l’expression initiale en une forme plus simple.

Cette démarche permet de comprendre et de vérifier chaque étape de la factorisation.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer