Observe les deux factorisations suivantes :
\((x + 4)(x^{2} + 1) + (24 - 3x)(x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)(-2x + 28)\)
\((x + 4)(x^{2} + 1) - (19 - 3x)(x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)(4x - 15)\)
Décris et explique les procédures utilisées pour passer de l’expression de gauche à celle de droite.
Factorise les expressions suivantes :
\((6 - x)(2y + 5) + (6 - x)(14 - 3y)\)
\((6 - x)(2y + 5) - (6 - x)(14 - 3y)\)
\((4y - 2)(3x^{2} - 4) + (y - 3)(3x^{2} - 4)\)
\((3x - 1)^{2} - (3x - 1)(6x^{2} - 20y)\)
\((x + 5)(y - 7) - (y - 7)\)
1a) (x² + 1)(–2x + 28)
1b) (x² + 1)(4x – 15)
2a) (6 – x)(19 – y)
2b) (6 – x)(5y – 9)
2c) 5(3x² – 4)(y – 1)
2d) (3x – 1)(–6x² + 3x + 20y – 1)
2e) (y – 7)(x + 4)
Nous allons résoudre chacune des questions en détaillant les étapes et en expliquant clairement la logique utilisée pour passer d’une expression à une autre, afin que tout soit compréhensible.
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1) Analyse des factorisations données
Étape 1 : Identifier le facteur commun
On remarque que chaque terme de l’expression contient (x² + 1).
On peut donc écrire :
(x² + 1) × (x + 4) + (x² + 1) × (24 – 3x)
Étape 2 : Factoriser (x² + 1)
On met (x² + 1) en facteur commun :
(x² + 1)[(x + 4) + (24 – 3x)]
Étape 3 : Simplifier l’expression dans les crochets
Calculons (x + 4) + (24 – 3x) :
x + 4 + 24 – 3x = (x – 3x) + (4 + 24) = –2x + 28
Donc la factorisation complète est :
(x² + 1)(–2x + 28)
Les deux étapes sont similaires à la partie a).
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Chaque terme contient (x² + 1).
On écrit :
(x² + 1)(x + 4) – (x² + 1)(19 – 3x)
Étape 2 : Factoriser (x² + 1)
On extrait (x² + 1) :
(x² + 1)[(x + 4) – (19 – 3x)]
Étape 3 : Simplifier l’expression dans les crochets
Calculons (x + 4) – (19 – 3x) :
x + 4 – 19 + 3x = (x + 3x) + (4 – 19) = 4x – 15
Donc la factorisation complète est :
(x² + 1)(4x – 15)
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2) Factorisation d’expressions données
Étape 1 : Identifier le facteur commun
On remarque que le facteur (6 – x) est commun aux deux termes.
On écrit donc :
(6 – x)[(2y + 5) + (14 – 3y)]
Étape 2 : Simplifier le contenu des parenthèses
Calculons (2y + 5) + (14 – 3y) :
2y – 3y + 5 + 14 = –y + 19
On peut écrire ce résultat sous la forme (19 – y).
La factorisation finale est :
(6 – x)(19 – y)
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b) Expression à factoriser :
(6 – x)(2y + 5) – (6 – x)(14 – 3y)
Étape 1 : Repérer le facteur commun
Le facteur (6 – x) est présent dans chaque terme.
On factorise donc :
(6 – x)[(2y + 5) – (14 – 3y)]
Étape 2 : Simplifier le contenu des parenthèses
Calculons (2y + 5) – (14 – 3y) :
2y + 5 – 14 + 3y = (2y + 3y) + (5 – 14) = 5y – 9
La factorisation finale est :
(6 – x)(5y – 9)
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c) Expression à factoriser :
(4y – 2)(3x² – 4) + (y – 3)(3x² – 4)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
On remarque que (3x² – 4) est présent dans chacun des deux
termes.
On peut écrire :
(3x² – 4)[(4y – 2) + (y – 3)]
Étape 2 : Simplifier l’expression dans les crochets
Calculons (4y – 2) + (y – 3) :
4y + y – 2 – 3 = 5y – 5
On peut remarquer que 5 est un facteur commun dans (5y – 5). On peut
donc écrire :
5y – 5 = 5(y – 1)
La factorisation complète est :
5(3x² – 4)(y – 1)
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d) Expression à factoriser :
(3x – 1)² – (3x – 1)(6x² – 20y)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Le facteur (3x – 1) est présent dans les deux termes.
On factorise donc :
(3x – 1)[(3x – 1) – (6x² – 20y)]
Étape 2 : Simplifier l’expression dans les crochets
Développons l’expression :
(3x – 1) – (6x² – 20y)
= 3x – 1 – 6x² + 20y
Il n’y a pas de facteur commun évident dans cette expression ; il est
acceptable de laisser la factorisation sous cette forme. La
factorisation finale est :
(3x – 1)[–6x² + 3x + 20y – 1]
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e) Expression à factoriser :
(x + 5)(y – 7) – (y – 7)
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Le facteur (y – 7) apparaît dans chaque terme.
On écrit donc :
(y – 7)[(x + 5) – 1]
Étape 2 : Simplifier l’expression dans les parenthèses
Calculons (x + 5) – 1 :
x + 5 – 1 = x + 4
La factorisation finale est :
(y – 7)(x + 4)
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Résumé des procédures utilisées :
• Pour passer d’une expression donnée à une forme factorisée, nous
cherchons d’abord un facteur commun présent dans tous les termes.
• Une fois identifié, on le met en facteur à l’aide de la propriété
distributive (a(b + c) = ab + ac).
• Ensuite, on simplifie l’expression dans les parenthèses en effectuant
les opérations (addition ou soustraction) sur les termes
semblables.
• Parfois, une simplification supplémentaire (comme extraire un facteur
numérique) est possible.
Ces étapes assurent une factorisation propre et permettent de transformer l’expression initiale en une forme plus simple.
Cette démarche permet de comprendre et de vérifier chaque étape de la factorisation.