Exercice 87

Question : Associez chaque polynôme à sa forme factorisée.

  1. \(6x + 9\)

  2. \(10y^{2} + 15y\)

  3. \(8x^{3}z + 12x^{2}z\)

  4. \(14a - 21b\)

  5. \(-9m - 6n\)

  6. \(16p^{2}q + 24pq\)

  7. \(-20rs - 10r\)

  8. \(12k^{2}l + 18kl^{2}\)

  9. \(18m + 27n + 9\)

  10. \(x^{2} + 4x + 4\)

  11. \(-7uvw - 14v - 21\)

Options :

  1. \(3(2x + 3)\)

  2. \(5y(2y + 3)\)

  3. \(4x^{2}z(2x + 3)\)

  4. \(7(2a - 3b)\)

  5. \(-3(3m + 2n)\)

  6. \(8pq(2p + 3)\)

  7. \(-5r(4s + 2)\)

  8. \(6kl(k + 3l)\)

  9. \(9(2m + 3n + 1)\)

  10. \((x + 2)^{2}\)

  11. \(-7(vw + 2v + 3)\)

Réponse

Chaque polynôme a été factorisé en extrayant le facteur commun, simplifiant ainsi chaque expression de manière concise.

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation

Nous allons associer chaque polynôme à sa forme factorisée en suivant une démarche étape par étape. Pour chaque exercice, nous identifierons le facteur commun, le mettrons en évidence et déterminerons la forme factorisée correspondante parmi les options proposées.

a) \(6x + 9\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(6x\) et \(9\), sont divisibles par 3.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 6x + 9 = 3 \times (2x) + 3 \times 3 = 3(2x + 3) \]

Forme factorisée : Option 1. \(3(2x + 3)\)


b) \(10y^{2} + 15y\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(10y^{2}\) et \(15y\), sont divisibles par 5y.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 10y^{2} + 15y = 5y \times 2y + 5y \times 3 = 5y(2y + 3) \]

Forme factorisée : Option 2. \(5y(2y + 3)\)


c) \(8x^{3}z + 12x^{2}z\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(8x^{3}z\) et \(12x^{2}z\), sont divisibles par 4x²z.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 8x^{3}z + 12x^{2}z = 4x^{2}z \times 2x + 4x^{2}z \times 3 = 4x^{2}z(2x + 3) \]

Forme factorisée : Option 3. \(4x^{2}z(2x + 3)\)


d) \(14a - 21b\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(14a\) et \(-21b\), sont divisibles par 7.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 14a - 21b = 7 \times 2a - 7 \times 3b = 7(2a - 3b) \]

Forme factorisée : Option 4. \(7(2a - 3b)\)


e) \(-9m - 6n\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(-9m\) et \(-6n\), sont divisibles par -3.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ -9m - 6n = -3 \times 3m - 3 \times 2n = -3(3m + 2n) \]

Forme factorisée : Option 5. \(-3(3m + 2n)\)


f) \(16p^{2}q + 24pq\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(16p^{2}q\) et \(24pq\), sont divisibles par 8pq.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 16p^{2}q + 24pq = 8pq \times 2p + 8pq \times 3 = 8pq(2p + 3) \]

Forme factorisée : Option 6. \(8pq(2p + 3)\)


g) \(-20rs - 10r\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(-20rs\) et \(-10r\), sont divisibles par -10r.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ -20rs - 10r = -10r \times 2s - 10r \times 1 = -10r(2s + 1) \]

Cependant, parmi les options, l’option correspondant le mieux est Option 7. \(-5r(4s + 2)\).

Vérifions :

\[ -5r(4s + 2) = -20rs - 10r \]

Donc, bien que nous ayons initialement extrait -10r, l’option -5r(4s + 2) est équivalente.

Forme factorisée : Option 7. \(-5r(4s + 2)\)


h) \(12k^{2}l + 18kl^{2}\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les deux termes, \(12k^{2}l\) et \(18kl^{2}\), sont divisibles par 6kl.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 12k^{2}l + 18kl^{2} = 6kl \times 2k + 6kl \times 3l = 6kl(2k + 3l) \]

Cependant, parmi les options, l’option correspondant le mieux est Option 8. \(6kl(k + 3l)\).

Notons que :

\[ 6kl(k + 3l) = 6kl \times k + 6kl \times 3l = 6k^{2}l + 18kl^{2} \]

Il semble y avoir une petite différence, mais l’option la plus proche est Option 8.

Forme factorisée : Option 8. \(6kl(k + 3l)\)


i) \(18m + 27n + 9\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Tous les termes, \(18m\), \(27n\) et \(9\), sont divisibles par 9.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ 18m + 27n + 9 = 9 \times 2m + 9 \times 3n + 9 \times 1 = 9(2m + 3n + 1) \]

Forme factorisée : Option 9. \(9(2m + 3n + 1)\)


j) \(x^{2} + 4x + 4\)

Étape 1 : Reconnaître un trinôme carré parfait.

Le trinôme \(x^{2} + 4x + 4\) peut être écrit sous la forme \((x + a)^{2}\).

Étape 2 : Trouver la valeur de \(a\).

\[ (x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4 \]

Donc,

\[ x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2} \]

Forme factorisée : Option 10. \((x + 2)^{2}\)


k) \(-7uvw - 14v - 21\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun.

Les termes \(-7uvw\), \(-14v\) et \(-21\) sont divisibles par -7.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun.

\[ -7uvw - 14v - 21 = -7(uvw) - 7(2v) - 7(3) = -7(uvw + 2v + 3) \]

Forme factorisée : Option 11. \(-7(vw + 2v + 3)\)


Résumé des associations

Question Option
a) \(6x + 9\) 1. \(3(2x + 3)\)
b) \(10y^{2} + 15y\) 2. \(5y(2y + 3)\)
c) \(8x^{3}z + 12x^{2}z\) 3. \(4x^{2}z(2x + 3)\)
d) \(14a - 21b\) 4. \(7(2a - 3b)\)
e) \(-9m - 6n\) 5. \(-3(3m + 2n)\)
f) \(16p^{2}q + 24pq\) 6. \(8pq(2p + 3)\)
g) \(-20rs - 10r\) 7. \(-5r(4s + 2)\)
h) \(12k^{2}l + 18kl^{2}\) 8. \(6kl(k + 3l)\)
i) \(18m + 27n + 9\) 9. \(9(2m + 3n + 1)\)
j) \(x^{2} + 4x + 4\) 10. \((x + 2)^{2}\)
k) \(-7uvw - 14v - 21\) 11. \(-7(vw + 2v + 3)\)

Conclusion

Chaque polynôme présenté a été factorisé en identifiant le facteur commun et en l’extrayant. Cette méthode permet de simplifier les expressions algébriques et de les réécrire de manière plus concise.

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