Question : Soit \(P = (5x - 3)^2 - (2x + 4)^2\).
Développer et réduire \(P\).
Factoriser \(P\).
Calculer \(P\) pour \(x = -1\) et \(x = 2\).
Réponses :
\(P = 21x^2 - 46x - 7\)
\(P = (3x - 7)(7x + 1)\)
\(P(-1) = 60\) et \(P(2) = -15\)
Nous allons résoudre chaque partie de la question étape par étape.
Soit \(P = (5x - 3)^2 - (2x + 4)^2\).
Étape 1 : Développer les carrés.
Utilisons la formule du carré d’une somme : \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\).
Développons \((5x - 3)^2\) : \[ (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9 \]
Développons \((2x + 4)^2\) : \[ (2x + 4)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 4 + 4^2 = 4x^2 + 16x + 16 \]
Étape 2 : Soustraire les deux expressions développées.
\[ P = (5x - 3)^2 - (2x + 4)^2 = (25x^2 - 30x + 9) - (4x^2 + 16x + 16) \]
Étape 3 : Réduire les termes semblables.
\[ P = 25x^2 - 30x + 9 - 4x^2 - 16x - 16 \]
Combinons les termes : - \(25x^2 - 4x^2 = 21x^2\) - \(-30x - 16x = -46x\) - \(9 - 16 = -7\)
Ainsi, \[ P = 21x^2 - 46x - 7 \]
\[ P = 21x^2 - 46x - 7 \]
Nous devons factoriser l’expression quadratique \(P = 21x^2 - 46x - 7\).
Étape 1 : Trouver deux nombres dont le produit est \(21 \times (-7) = -147\) et la somme est \(-46\).
Après réflexion, les nombres sont \(-49\) et \(3\) car : \[ -49 \times 3 = -147 \quad \text{et} \quad -49 + 3 = -46 \]
Étape 2 : Réécrire le terme en \(x\) en utilisant ces nombres.
\[ 21x^2 - 49x + 3x - 7 \]
Étape 3 : Factoriser par regroupement.
Regroupons les deux premiers termes et les deux derniers termes : \[ (21x^2 - 49x) + (3x - 7) \]
Factorisons chaque groupe : \[ 7x(3x - 7) + 1(3x - 7) \]
Étape 4 : Factoriser le facteur commun \((3x - 7)\).
\[ P = (3x - 7)(7x + 1) \]
\[ P = (3x - 7)(7x + 1) \]
Nous allons utiliser l’expression factorisée de \(P\) pour faciliter les calculs.
\[ P = (3x - 7)(7x + 1) \]
Calcul pour \(x = -1\) :
Substituons \(x = -1\) dans \(P\) : \[ P = (3(-1) - 7)(7(-1) + 1) = (-3 - 7)(-7 + 1) = (-10)(-6) = 60 \]
Calcul pour \(x = 2\) :
Substituons \(x = 2\) dans \(P\) : \[ P = (3(2) - 7)(7(2) + 1) = (6 - 7)(14 + 1) = (-1)(15) = -15 \]
\[ P(-1) = 60 \quad \text{et} \quad P(2) = -15 \]