Exercice 86

Question : Soit \(P = (5x - 3)^2 - (2x + 4)^2\).

  1. Développer et réduire \(P\).

  2. Factoriser \(P\).

  3. Calculer \(P\) pour \(x = -1\) et \(x = 2\).

Réponse

Réponses :

  1. \(P = 21x^2 - 46x - 7\)

  2. \(P = (3x - 7)(7x + 1)\)

  3. \(P(-1) = 60\) et \(P(2) = -15\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre chaque partie de la question étape par étape.

Question :

Soit \(P = (5x - 3)^2 - (2x + 4)^2\).

a. Développer et réduire \(P\).

Étape 1 : Développer les carrés.

Utilisons la formule du carré d’une somme : \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\).

Étape 2 : Soustraire les deux expressions développées.

\[ P = (5x - 3)^2 - (2x + 4)^2 = (25x^2 - 30x + 9) - (4x^2 + 16x + 16) \]

Étape 3 : Réduire les termes semblables.

\[ P = 25x^2 - 30x + 9 - 4x^2 - 16x - 16 \]

Combinons les termes : - \(25x^2 - 4x^2 = 21x^2\) - \(-30x - 16x = -46x\) - \(9 - 16 = -7\)

Ainsi, \[ P = 21x^2 - 46x - 7 \]

Réponse à la partie a :

\[ P = 21x^2 - 46x - 7 \]


b. Factoriser \(P\).

Nous devons factoriser l’expression quadratique \(P = 21x^2 - 46x - 7\).

Étape 1 : Trouver deux nombres dont le produit est \(21 \times (-7) = -147\) et la somme est \(-46\).

Après réflexion, les nombres sont \(-49\) et \(3\) car : \[ -49 \times 3 = -147 \quad \text{et} \quad -49 + 3 = -46 \]

Étape 2 : Réécrire le terme en \(x\) en utilisant ces nombres.

\[ 21x^2 - 49x + 3x - 7 \]

Étape 3 : Factoriser par regroupement.

Étape 4 : Factoriser le facteur commun \((3x - 7)\).

\[ P = (3x - 7)(7x + 1) \]

Réponse à la partie b :

\[ P = (3x - 7)(7x + 1) \]


c. Calculer \(P\) pour \(x = -1\) et \(x = 2\).

Nous allons utiliser l’expression factorisée de \(P\) pour faciliter les calculs.

\[ P = (3x - 7)(7x + 1) \]

Calcul pour \(x = -1\) :

Substituons \(x = -1\) dans \(P\) : \[ P = (3(-1) - 7)(7(-1) + 1) = (-3 - 7)(-7 + 1) = (-10)(-6) = 60 \]

Calcul pour \(x = 2\) :

Substituons \(x = 2\) dans \(P\) : \[ P = (3(2) - 7)(7(2) + 1) = (6 - 7)(14 + 1) = (-1)(15) = -15 \]

Réponse à la partie c :

\[ P(-1) = 60 \quad \text{et} \quad P(2) = -15 \]

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer