Question : Factorise puis réduis chaque expression.
\[ \begin{aligned} A &= (3a - 5)^2 + (2a + 4)(3a - 5) \\ B &= (4b + 6) - (3b - 2)(4b + 6) \\ C &= 3c^2 - c(5c + 9) \end{aligned} \]
Résultats :
\[ \begin{aligned} A &= (3a - 5)(5a - 1) \\ B &= 6(2b + 3)(1 - b) \\ C &= -c(2c + 9) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A &= (3a - 5)^2 + (2a + 4)(3a - 5) \\ B &= (4b + 6) - (3b - 2)(4b + 6) \\ C &= 3c^2 - c(5c + 9) \end{aligned} \]
\[ A = (3a - 5)^2 + (2a + 4)(3a - 5) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
On remarque que le terme \((3a - 5)\) est présent dans les deux membres de l’expression. On peut donc le mettre en facteur.
Étape 2 : Factoriser l’expression
Factorisons \((3a - 5)\) :
\[ A = (3a - 5)\left[ (3a - 5) + (2a + 4) \right] \]
Étape 3 : Simplifier l’expression entre crochets
Calculons l’expression à l’intérieur des crochets :
\[ (3a - 5) + (2a + 4) = 3a + 2a - 5 + 4 = 5a - 1 \]
Étape 4 : Écrire l’expression factorisée
Ainsi,
\[ A = (3a - 5)(5a - 1) \]
Étape 5 : Vérification (optionnelle)
On peut développer pour vérifier :
\[ (3a - 5)(5a - 1) = 3a \cdot 5a + 3a \cdot (-1) - 5 \cdot 5a - 5 \cdot (-1) = 15a^2 - 3a - 25a + 5 = 15a^2 - 28a + 5 \]
Cela correspond bien à l’expression initiale après développement.
\[ B = (4b + 6) - (3b - 2)(4b + 6) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Le terme \((4b + 6)\) apparaît dans les deux membres de l’expression. Mettons-le en facteur.
Étape 2 : Factoriser l’expression
Factorisons \((4b + 6)\) :
\[ B = (4b + 6)\left[ 1 - (3b - 2) \right] \]
Étape 3 : Simplifier l’expression entre crochets
Calculons l’expression à l’intérieur des crochets :
\[ 1 - (3b - 2) = 1 - 3b + 2 = 3 - 3b = 3(1 - b) \]
Étape 4 : Écrire l’expression factorisée
Ainsi,
\[ B = (4b + 6) \cdot 3(1 - b) = 3(4b + 6)(1 - b) \]
Étape 5 : Simplifier davantage (si nécessaire)
On peut également factoriser \((4b + 6)\) :
\[ 4b + 6 = 2(2b + 3) \]
Donc,
\[ B = 3 \cdot 2(2b + 3)(1 - b) = 6(2b + 3)(1 - b) \]
\[ C = 3c^2 - c(5c + 9) \]
Étape 1 : Développer l’expression
Développons le terme \(c(5c + 9)\) :
\[ c(5c + 9) = 5c^2 + 9c \]
Étape 2 : Réécrire l’expression
Ainsi,
\[ C = 3c^2 - (5c^2 + 9c) = 3c^2 - 5c^2 - 9c = -2c^2 - 9c \]
Étape 3 : Mettre en facteur l’expression simplifiée
On peut factoriser \(-c\) :
\[ C = -c(2c + 9) \]
Alternative : Factorisation initiale
Alternativement, revenons à l’expression originale pour une factorisation directe :
\[ C = 3c^2 - c(5c + 9) = 3c^2 - 5c^2 - 9c = -2c^2 - 9c = -c(2c + 9) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ C = -c(2c + 9) \]
Résumé des réponses :
\[ \begin{aligned} A &= (3a - 5)(5a - 1) \\ B &= 6(2b + 3)(1 - b) \\ C &= -c(2c + 9) \end{aligned} \]