Question :
\[ \begin{aligned} \mathrm{A} &= 3 \cdot m + 7 \\ \mathrm{B} &= 2 \cdot (b + 5) \\ \mathrm{C} &= 6k \cdot (-2k) \\ \mathrm{D} &= 4(3y - 9) \\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \mathrm{E} &= (1 - n) \cdot 4n \\ \mathrm{F} &= 2p + 3(p - 4) \\ \mathrm{G} &= (2y + 5)(y - 3) \\ \mathrm{H} &= 4w + 3 \cdot w - 6 \\ \end{aligned} \]
Réponse courte :
Les expressions entièrement en produit sont : • B = 2·(b+5) (2 et (b+5)) • C = 6k·(–2k) (6k et –2k) • D = 4(3y–9) (4 et (3y–9)) • E = (1–n)·4n ((1–n) et 4n) • G = (2y+5)(y–3) ((2y+5) et (y–3))
Les expressions développables (à distribuer) sont : • B, D, E, F = 2p+3(p–4) et G.
Nous allons analyser chacune des expressions pour repérer lesquelles sont sous forme de produit (c’est-à-dire qu’elles se présentent comme la multiplication de deux éléments) et en identifier les facteurs. Puis nous déterminerons celles qui peuvent être développées (c’est-à-dire transformées afin de supprimer les parenthèses grâce à la propriété distributive).
────────────────────────────── Partie a. Souligner les expressions qui sont des produits et encercler leurs facteurs
Expression A : 3 · m + 7
– On remarque que l’expression est la somme de 3 · m et du nombre
7.
– Seule la partie 3 · m est un produit, mais l’expression A dans sa
globalité n’est pas entièrement présentée comme un produit de deux
facteurs.
→ Donc, A n’est pas considérée comme « une expression qui est un
produit ».
Expression B : 2 · (b + 5)
– Ici, l’opérateur de multiplication relie directement 2 et (b +
5).
– C’est bien un produit, et les deux facteurs sont 2 et (b + 5).
→ On souligne B et on encercle 2 d’un côté et (b + 5) de
l’autre.
Expression C : 6k · (-2k)
– L’expression est la multiplication de 6k et de (-2k).
– Il s’agit clairement d’un produit.
→ On souligne C et on encercle 6k et (-2k).
Expression D : 4(3y - 9)
– On peut écrire cette expression comme 4 × (3y - 9).
– C’est un produit dont les facteurs sont 4 et (3y - 9).
→ On souligne D et on encercle 4 et (3y - 9).
Expression E : (1 - n) · 4n
– Il est écrit comme le produit de (1 - n) et de 4n.
→ On souligne E et on encercle (1 - n) et 4n.
Expression F : 2p + 3(p - 4)
– L’expression est une somme de deux termes : le premier terme 2p et le
deuxième qui est lui-même un produit, 3(p - 4).
– Seul 3(p - 4) est un produit ; l’expression F dans sa globalité n’est
pas uniquement présentée comme un produit.
→ F n’est donc pas entièrement considérée comme un produit.
Expression G : (2y + 5)(y - 3)
– Ici, nous avons la multiplication de (2y + 5) et de (y - 3).
→ On souligne G et on encercle les deux facteurs : (2y + 5) et (y -
3).
Expression H : 4w + 3 · w - 6
– L’expression est une somme de trois termes. Seul le terme 3 · w est un
produit, mais l’expression globale n’est pas présentée exclusivement
comme une multiplication de deux facteurs.
→ H n’est pas considérée comme un produit complet.
────────────────────────────── Bilan partie a :
Les expressions qui se présentent entièrement comme des produits sont
:
• B = 2 · (b + 5)
• C = 6k · (-2k)
• D = 4(3y - 9)
• E = (1 - n) · 4n
• G = (2y + 5)(y - 3)
Pour chacune, les facteurs sont : – B : Facteurs = 2 et (b + 5) – C : Facteurs = 6k et (-2k) – D : Facteurs = 4 et (3y - 9) – E : Facteurs = (1 - n) et 4n – G : Facteurs = (2y + 5) et (y - 3)
────────────────────────────── Partie b. Parmi les expressions précédentes, lesquelles peut-on développer ?
Pour « développer » une expression, il faut appliquer la propriété distributive pour enlever les parenthèses. Examinons chaque expression :
• A = 3·m + 7
– Elle est déjà sous forme développée.
• B = 2 · (b + 5)
– Ici, on peut distribuer 2 dans la parenthèse.
– Développement : 2 · b + 2 · 5 = 2b + 10.
• C = 6k · (-2k)
– Ce produit concerne deux monômes. On peut calculer leur multiplication
mais il n’y a pas de parenthèse contenant une somme à développer.
– Le calcul donne : 6k × (-2k) = -12k².
– Ce n’est pas ce qu’on entend habituellement par « développer »
(application de la distributivité). On laisse cette expression telle
quelle.
• D = 4(3y - 9)
– On peut appliquer la distributivité.
– Développement : 4 × 3y - 4 × 9 = 12y - 36.
• E = (1 - n) · 4n
– On peut multiplier 4n par chacun des termes dans (1 - n).
– Développement : 4n × 1 - 4n × n = 4n - 4n².
• F = 2p + 3(p - 4)
– Ici, seule la partie 3(p - 4) nécessite le développement.
– Développement : 3 × p - 3 × 4 = 3p - 12, puis on réunit avec 2p : 2p +
3p - 12 = 5p - 12.
• G = (2y + 5)(y - 3)
– Il s’agit d’un produit de deux binômes.
– Pour développer, on utilise la méthode de la distributivité (ou la
méthode du produit en croix).
a) Multiplier 2y par y et par -3 : 2y × y = 2y², 2y × (-3) = -6y.
b) Multiplier 5 par y et par -3 : 5 × y = 5y, 5 × (-3) = -15.
– Puis, on regroupe : 2y² + (-6y + 5y) - 15 = 2y² - y - 15.
• H = 4w + 3·w - 6
– L’expression est déjà développée ; ici il suffirait de combiner les
termes semblables, car 4w et 3w sont des termes semblables.
– Calcul : 4w + 3w = 7w, donc H = 7w - 6.
────────────────────────────── Bilan partie b :
Parmi les expressions proposées, celles qui se présentent sous une
forme nécessitant le développement (application de la distributivité
pour enlever les parenthèses) sont :
– B = 2 · (b + 5)
– D = 4(3y - 9)
– E = (1 - n) · 4n
– F = 2p + 3(p - 4)
– G = (2y + 5)(y - 3)
(En pratique, on peut « développer » C en calculant le produit, mais comme il n’y a pas de parenthèses à distribuer sur une somme, on le considère déjà sous une forme simplifiée. De même, H est déjà développé, même s’il est possible de regrouper les termes semblables.)
────────────────────────────── Conclusion complète
Les expressions entièrement présentées comme des produits sont B,
C, D, E et G.
Pour chaque expression, les facteurs sont : • B : 2 et (b + 5) • C :
6k et (-2k) • D : 4 et (3y - 9) • E : (1 - n) et 4n • G : (2y + 5)
et (y - 3)
On peut développer les expressions qui comportent des parenthèses
contenant des sommes ou différences. Il s’agit de :
• B = 2 · (b + 5)
• D = 4(3y - 9)
• E = (1 - n) · 4n
• F = 2p + 3(p - 4)
• G = (2y + 5)(y - 3)
Cette démarche permet de comprendre comment passer d’une écriture « factorisée » à une écriture « développée » en appliquant les propriétés de la multiplication sur des sommes.