Dans les exercices 295 à 300, factorisez chaque expression autant que possible :
Les exercices 295 à 300 sont factorisés en utilisant la différence de carrés : \(A² - B² = (A - B)(A + B)\).
Question : Factorisez l’expression \((x + y)^{2} - b^{2}\).
Correction :
Nous reconnaissons une différence de carrés, car \((x + y)^{2}\) et \(b^{2}\) sont tous deux des carrés parfaits. La formule générale pour la différence de deux carrés est :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Appliquons cette formule à l’expression donnée :
\[ (x + y)^{2} - b^{2} = \left( (x + y) - b \right) \left( (x + y) + b \right) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ (x + y - b)(x + y + b) \]
Question : Factorisez l’expression \((a - 4b)^{2} - 1\).
Correction :
L’expression présente également une différence de carrés puisque \((a - 4b)^{2}\) est un carré parfait et \(1\) est égal à \(1^{2}\). Utilisons la formule :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
En remplaçant \(A\) par \((a - 4b)\) et \(B\) par \(1\), on obtient :
\[ (a - 4b)^{2} - 1 = \left( (a - 4b) - 1 \right) \left( (a - 4b) + 1 \right) \]
Simplifions chaque facteur :
\[ = (a - 4b - 1)(a - 4b + 1) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ (a - 4b - 1)(a - 4b + 1) \]
Question : Factorisez l’expression \((2x^{2} - y)^{2} - 9x^{4}\).
Correction :
Nous avons une différence de carrés où \((2x^{2} - y)^{2}\) est un carré parfait et \(9x^{4}\) est également un carré parfait car \(9x^{4} = (3x^{2})^{2}\). Appliquons la formule de la différence de carrés :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Avec \(A = 2x^{2} - y\) et \(B = 3x^{2}\), nous obtenons :
\[ (2x^{2} - y)^{2} - 9x^{4} = \left( (2x^{2} - y) - 3x^{2} \right) \left( (2x^{2} - y) + 3x^{2} \right) \]
Simplifions chaque facteur :
\[ = (-x^{2} - y)(5x^{2} - y) \]
On peut également factoriser le premier facteur en retirant le signe négatif :
\[ = - (x^{2} + y)(5x^{2} - y) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ - (x^{2} + y)(5x^{2} - y) \]
Question : Factorisez l’expression \(16a^{2} - (x^{2} - 1)^{2}\).
Correction :
Cette expression est une différence de carrés, car \(16a^{2}\) est un carré parfait (\(16a^{2} = (4a)^{2}\)) et \((x^{2} - 1)^{2}\) est déjà un carré parfait. Utilisons la formule :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Avec \(A = 4a\) et \(B = x^{2} - 1\), nous avons :
\[ 16a^{2} - (x^{2} - 1)^{2} = (4a - (x^{2} - 1))(4a + (x^{2} - 1)) \]
Simplifions chaque facteur :
\[ = (4a - x^{2} + 1)(4a + x^{2} - 1) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ (4a - x^{2} + 1)(4a + x^{2} - 1) \]
Question : Factorisez l’expression \((x + 2y)^{2} - (2x - y)^{2}\).
Correction :
Il s’agit d’une différence de carrés, puisque \((x + 2y)^{2}\) et \((2x - y)^{2}\) sont des carrés parfaits. Appliquons la formule :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Avec \(A = x + 2y\) et \(B = 2x - y\), nous obtenons :
\[ (x + 2y)^{2} - (2x - y)^{2} = \left( (x + 2y) - (2x - y) \right) \left( (x + 2y) + (2x - y) \right) \]
Simplifions chaque facteur :
Premier facteur :
\[ (x + 2y) - (2x - y) = x + 2y - 2x + y = -x + 3y \]
Deuxième facteur :
\[ (x + 2y) + (2x - y) = x + 2y + 2x - y = 3x + y \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ (-x + 3y)(3x + y) \]
Pour une présentation plus élégante, nous pouvons écrire :
\[ (3y - x)(3x + y) \]
Question : Factorisez l’expression \((5a - b)^{2} - (a - 2b)^{2}\).
Correction :
Cette expression est une différence de carrés, car \((5a - b)^{2}\) et \((a - 2b)^{2}\) sont des carrés parfaits. Utilisons la formule :
\[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \]
Avec \(A = 5a - b\) et \(B = a - 2b\), nous avons :
\[ (5a - b)^{2} - (a - 2b)^{2} = \left( (5a - b) - (a - 2b) \right) \left( (5a - b) + (a - 2b) \right) \]
Simplifions chaque facteur :
Premier facteur :
\[ (5a - b) - (a - 2b) = 5a - b - a + 2b = 4a + b \]
Deuxième facteur :
\[ (5a - b) + (a - 2b) = 5a - b + a - 2b = 6a - 3b \]
Nous pouvons factoriser le deuxième facteur en retirant un commun multiple, par exemple \(3\) :
\[ 6a - 3b = 3(2a - b) \]
Ainsi, l’expression factorisée est :
\[ (4a + b) \times 3(2a - b) = 3(4a + b)(2a - b) \]