Exercice 82

Exercice 1 :

\(4 x^{4}+16 y^{4}\)

Exercice 2 :

\(-49 x^{3}-9 x y^{2}+42 x^{2} y\)

Exercice 3 :

\(-48 x^{3}+48 x^{2}-12 x\)

Exercice 4 :

\(16 x^{4}-128 x^{2}+256\)

Exercice 5 :

\(2 x^{3}-12 x^{2}-54 x\)

Exercice 6 :

\(\frac{1}{4} x^{3}+\frac{1}{9} x y^{2}+\frac{1}{3} x^{2} y\)

Réponse

Résultats des Exercices

1. Exercice 1 : \[ 4x^{4} + 16y^{4} = 4(x^{4} + 4y^{4}) \]

2. Exercice 2 : \[ -49x^{3} - 9xy^{2} + 42x^{2}y = x(7x + 3y)(-7x + 3y) \]

3. Exercice 3 : \[ -48x^{3} + 48x^{2} - 12x = -12x(2x - 1)^{2} \]

4. Exercice 4 : \[ 16x^{4} - 128x^{2} + 256 = 16(x - 2)^{2}(x + 2)^{2} \]

5. Exercice 5 : \[ 2x^{3} - 12x^{2} - 54x = 2x(x - 9)(x + 3) \]

6. Exercice 6 : \[ \frac{1}{4}x^{3} + \frac{1}{9}xy^{2} + \frac{1}{3}x^{2}y = \frac{1}{36}x(3x + 2y)^{2} \]

Corrigé détaillé

Correction de l’Exercice 1

Énoncé : \[ 4x^{4} + 16y^{4} \]

Objectif : Factoriser l’expression.

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun :

   • Les deux termes de l’expression ont un facteur commun de 4.

2. Factoriser le 4 : \[ 4x^{4} + 16y^{4} = 4(x^{4} + 4y^{4}) \]

3. Observer l’expression à l’intérieur des parenthèses : \[ x^{4} + 4y^{4} \]

4. Reconnaître la somme de carrés :

   • \(x^{4} = (x^{2})^{2}\)
   • \(4y^{4} = (2y^{2})^{2}\)
   • On a donc une somme de carrés : \(a^{2} + b^{2}\), qui ne se factorise pas en nombres réels. Cependant, si l’on souhaite exprimer en termes de réels, on peut s’arrêter ici.

Résultat final : \[ 4x^{4} + 16y^{4} = 4(x^{4} + 4y^{4}) \]

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Correction de l’Exercice 2

Énoncé : \[ -49x^{3} - 9xy^{2} + 42x^{2}y \]

Objectif : Factoriser l’expression.

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun dans tous les termes :

   • Chaque terme contient un \(x\).

2. Factoriser le \(x\) : \[ -49x^{3} - 9xy^{2} + 42x^{2}y = x(-49x^{2} - 9y^{2} + 42xy) \]

3. Réorganiser les termes à l’intérieur des parenthèses : \[ -49x^{2} + 42xy - 9y^{2} \]

4. Factorisation par regroupement :

   • Chercher deux nombres dont le produit est \(-49 \times (-9) = 441\) et la somme est \(42\).
   • Les nombres sont 21 et 21.

5. Réécrire le terme du milieu : \[ -49x^{2} + 21xy + 21xy - 9y^{2} \]

6. Factoriser par groupes : \[ (-49x^{2} + 21xy) + (21xy - 9y^{2}) = 7x(-7x + 3y) + 3y(7x - 3y) \]

7. Facteur commun : \[ (7x + 3y)(-7x + 3y) \]

Résultat final : \[ -49x^{3} - 9xy^{2} + 42x^{2}y = x(7x + 3y)(-7x + 3y) \]

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Correction de l’Exercice 3

Énoncé : \[ -48x^{3} + 48x^{2} - 12x \]

Objectif : Factoriser l’expression.

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun dans tous les termes :

   • Chaque terme contient un \(-12x\).

2. Factoriser le \(-12x\) : \[ -48x^{3} + 48x^{2} - 12x = -12x(4x^{2} - 4x + 1) \]

3. Observer le trinôme quadratique à l’intérieur des parenthèses : \[ 4x^{2} - 4x + 1 \]

4. Factoriser le trinôme :

   • Chercher deux nombres dont le produit est \(4 \times 1 = 4\) et la somme est \(-4\).
   • Les nombres sont \(-2\) et \(-2\).

5. Écrire le trinôme sous forme factorisée : \[ 4x^{2} - 4x + 1 = (2x - 1)(2x - 1) = (2x - 1)^{2} \]

Résultat final : \[ -48x^{3} + 48x^{2} - 12x = -12x(2x - 1)^{2} \]

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Correction de l’Exercice 4

Énoncé : \[ 16x^{4} - 128x^{2} + 256 \]

Objectif : Factoriser l’expression.

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun :

   • Chaque terme est divisible par 16.

2. Factoriser le 16 : \[ 16x^{4} - 128x^{2} + 256 = 16(x^{4} - 8x^{2} + 16) \]

3. Observer le trinôme à l’intérieur des parenthèses : \[ x^{4} - 8x^{2} + 16 \]

4. Remplacer \(x^{4}\) par \((x^{2})^{2}\) : \[ (x^{2})^{2} - 8x^{2} + 16 \]

5. Factoriser le trinôme quadratique :

   • Chercher deux nombres dont le produit est \(1 \times 16 = 16\) et la somme est \(-8\).
   • Les nombres sont \(-4\) et \(-4\).

6. Écrire le trinôme sous forme factorisée : \[ (x^{2} - 4)(x^{2} - 4) = (x^{2} - 4)^{2} \]

7. Reconnaître une différence de carrés : \[ x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2) \]

8. Finaliser la factorisation : \[ (x^{2} - 4)^{2} = (x - 2)^{2}(x + 2)^{2} \]

Résultat final : \[ 16x^{4} - 128x^{2} + 256 = 16(x - 2)^{2}(x + 2)^{2} \]

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Correction de l’Exercice 5

Énoncé : \[ 2x^{3} - 12x^{2} - 54x \]

Objectif : Factoriser l’expression.

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun dans tous les termes :

   • Chaque terme contient un \(2x\).

2. Factoriser le \(2x\) : \[ 2x^{3} - 12x^{2} - 54x = 2x(x^{2} - 6x - 27) \]

3. Observer le trinôme quadratique : \[ x^{2} - 6x - 27 \]

4. Factoriser le trinôme :

   • Chercher deux nombres dont le produit est \(-27\) et la somme est \(-6\).
   • Les nombres sont \(-9\) et \(3\).

5. Écrire le trinôme sous forme factorisée : \[ x^{2} - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3) \]

Résultat final : \[ 2x^{3} - 12x^{2} - 54x = 2x(x - 9)(x + 3) \]

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Correction de l’Exercice 6

Énoncé : \[ \frac{1}{4}x^{3} + \frac{1}{9}xy^{2} + \frac{1}{3}x^{2}y \]

Objectif : Factoriser l’expression.

Étapes de résolution :

1. Identifier le facteur commun dans tous les termes :

   • Chaque terme contient un \(\frac{1}{3}x\).

2. Factoriser le \(\frac{1}{3}x\) : \[ \frac{1}{4}x^{3} + \frac{1}{9}xy^{2} + \frac{1}{3}x^{2}y = \frac{1}{3}x\left( \frac{3}{4}x^{2} + \frac{1}{3}y^{2} + x y \right) \]

3. Simplifier les coefficients à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{3}{4}x^{2} + xy + \frac{1}{3}y^{2} \]

4. Trouver un dénominateur commun pour éliminer les fractions :

   • Le dénominateur commun est 12.

5. Multiplier chaque terme par 12 pour simplifier : \[ 12 \times \left( \frac{3}{4}x^{2} + xy + \frac{1}{3}y^{2} \right) = 9x^{2} + 12xy + 4y^{2} \]

6. Factoriser le trinôme :

   • Chercher deux nombres dont le produit est \(9 \times 4 = 36\) et la somme est \(12\).
   • Les nombres sont \(6\) et \(6\).

7. Écrire le trinôme sous forme factorisée : \[ 9x^{2} + 12xy + 4y^{2} = (3x + 2y)(3x + 2y) = (3x + 2y)^{2} \]

8. Revenir à l’expression initiale : \[ \frac{1}{3}x \times \frac{1}{12}(3x + 2y)^{2} = \frac{1}{36}x(3x + 2y)^{2} \]

Résultat final : \[ \frac{1}{4}x^{3} + \frac{1}{9}xy^{2} + \frac{1}{3}x^{2}y = \frac{1}{36}x(3x + 2y)^{2} \]