Question : Factorise puis résous chaque équation.
a. \((5x + 3)(4 - 2x) - (x - 1)(5x + 3) = 0\)
b. \((8x - 5)(3 + 4x) + (8x - 5)(2x - 3) = 0\)
c. \((z - 4)(z + 6) + 5(z - 4) = 0\)
Nous allons factoriser puis résoudre chaque équation une par une.
\[ (5x + 3)(4 - 2x) - (x - 1)(5x + 3) = 0 \]
Étape 1 : Factoriser le terme commun
Observons que \((5x + 3)\) est un facteur commun dans les deux termes de l’expression. Nous pouvons le mettre en facteur :
\[ (5x + 3)\left[(4 - 2x) - (x - 1)\right] = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’expression entre crochets
Calculons \((4 - 2x) - (x - 1)\) :
\[ 4 - 2x - x + 1 = 5 - 3x \]
Donc, l’équation devient :
\[ (5x + 3)(5 - 3x) = 0 \]
Étape 3 : Utiliser le principe du produit nul
Pour que le produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro :
\(5x + 3 = 0\)
\[ 5x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{5} \]
\(5 - 3x = 0\)
\[ 5 - 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad -3x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{3} \]
Solution :
Les solutions de l’équation sont \(x = -\dfrac{3}{5}\) et \(x = \dfrac{5}{3}\).
\[ (8x - 5)(3 + 4x) + (8x - 5)(2x - 3) = 0 \]
Étape 1 : Factoriser le terme commun
Le facteur commun est \((8x - 5)\). Factorisons-le :
\[ (8x - 5)\left[(3 + 4x) + (2x - 3)\right] = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’expression entre crochets
Calculons \((3 + 4x) + (2x - 3)\) :
\[ 3 + 4x + 2x - 3 = 6x \]
Donc, l’équation devient :
\[ (8x - 5)(6x) = 0 \]
Étape 3 : Utiliser le principe du produit nul
Pour que le produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro :
\(8x - 5 = 0\)
\[ 8x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad 8x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{8} \]
\(6x = 0\)
\[ 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
Solution :
Les solutions de l’équation sont \(x = \dfrac{5}{8}\) et \(x = 0\).
\[ (z - 4)(z + 6) + 5(z - 4) = 0 \]
Étape 1 : Factoriser le terme commun
Le facteur commun est \((z - 4)\). Factorisons-le :
\[ (z - 4)\left[(z + 6) + 5\right] = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’expression entre crochets
Calculons \((z + 6) + 5\) :
\[ z + 6 + 5 = z + 11 \]
Donc, l’équation devient :
\[ (z - 4)(z + 11) = 0 \]
Étape 3 : Utiliser le principe du produit nul
Pour que le produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro :
\(z - 4 = 0\)
\[ z - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 4 \]
\(z + 11 = 0\)
\[ z + 11 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = -11 \]
Solution :
Les solutions de l’équation sont \(z = 4\) et \(z = -11\).