Exercice 77

Question : Factorise et réduis les expressions suivantes :

1. \(A = (4x + 3)(x - 2) + (5x - 1)(x - 2)\)

2. \(B = (3x + 6)(x - 4) + (3x + 6)(-2x + 5)\)

3. \(C = (2x - 5)(4x + 1) - (2x - 5)(3x - 3)\)

4. \(D = (-x + 7)(2x - 3) - (-x + 7)(5x + 4)\)

Réponse

Résultats des exercices :

1. Exercice 1 : \[ A = (x - 2)(9x + 2) \]

2. Exercice 2 : \[ B = 3(x + 2)(1 - x) \]

3. Exercice 3 : \[ C = (2x - 5)(x + 4) \]

4. Exercice 4 : \[ D = (x - 7)(3x + 7) \]

Corrigé détaillé

Correction détaillée des exercices de factorisation et réduction

Exercice 1 :

Question : Factorise et réduis l’expression suivante : \[ A = (4x + 3)(x - 2) + (5x - 1)(x - 2) \]

Correction :

1. Identifier le facteur commun : Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((x - 2)\).

2. Factoriser le facteur commun : \[ A = (x - 2)(4x + 3) + (x - 2)(5x - 1) \] \[ A = (x - 2)\left[(4x + 3) + (5x - 1)\right] \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets : \[ (4x + 3) + (5x - 1) = 4x + 5x + 3 - 1 = 9x + 2 \]

4. Écrire l’expression factorisée : \[ A = (x - 2)(9x + 2) \]

5. Conclusion : L’expression réduite et factorisée est : \[ A = (x - 2)(9x + 2) \]

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Exercice 2 :

Question : Factorise et réduis l’expression suivante : \[ B = (3x + 6)(x - 4) + (3x + 6)(-2x + 5) \]

Correction :

1. Identifier le facteur commun : Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((3x + 6)\).

2. Factoriser le facteur commun : \[ B = (3x + 6)(x - 4) + (3x + 6)(-2x + 5) \] \[ B = (3x + 6)\left[(x - 4) + (-2x + 5)\right] \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets : \[ (x - 4) + (-2x + 5) = x - 2x - 4 + 5 = -x + 1 \]

4. Écrire l’expression factorisée : \[ B = (3x + 6)(-x + 1) \]

5. Simplifier davantage si possible : On peut factoriser \(3x + 6\) en \(3(x + 2)\). \[ B = 3(x + 2)(-x + 1) \] Ou réarranger les termes : \[ B = 3(x + 2)(1 - x) \]

6. Conclusion : L’expression réduite et factorisée est : \[ B = 3(x + 2)(1 - x) \]

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Exercice 3 :

Question : Factorise et réduis l’expression suivante : \[ C = (2x - 5)(4x + 1) - (2x - 5)(3x - 3) \]

Correction :

1. Identifier le facteur commun : Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((2x - 5)\).

2. Factoriser le facteur commun : \[ C = (2x - 5)(4x + 1) - (2x - 5)(3x - 3) \] \[ C = (2x - 5)\left[(4x + 1) - (3x - 3)\right] \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets : \[ (4x + 1) - (3x - 3) = 4x + 1 - 3x + 3 = x + 4 \]

4. Écrire l’expression factorisée : \[ C = (2x - 5)(x + 4) \]

5. Conclusion : L’expression réduite et factorisée est : \[ C = (2x - 5)(x + 4) \]

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Exercice 4 :

Question : Factorise et réduis l’expression suivante : \[ D = (-x + 7)(2x - 3) - (-x + 7)(5x + 4) \]

Correction :

1. Identifier le facteur commun : Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((-x + 7)\).

2. Factoriser le facteur commun : \[ D = (-x + 7)(2x - 3) - (-x + 7)(5x + 4) \] \[ D = (-x + 7)\left[(2x - 3) - (5x + 4)\right] \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des crochets : \[ (2x - 3) - (5x + 4) = 2x - 3 - 5x - 4 = -3x - 7 \]

4. Écrire l’expression factorisée : \[ D = (-x + 7)(-3x - 7) \]

5. Simplifier les signes négatifs : On peut factoriser \(-1\) dans le second facteur : \[ D = (-x + 7)(-1)(3x + 7) = (x - 7)(3x + 7) \] Ainsi, l’expression peut également être écrite comme : \[ D = (x - 7)(3x + 7) \]

6. Conclusion : L’expression réduite et factorisée est : \[ D = (x - 7)(3x + 7) \]