Exercice 76

Factoriser aussi complètement que possible :

  1. \(x^{3} - x\)

  2. \(45 a^{4} - 5 b^{4}\)

  3. \(18 x^{2} - 50 y^{2}\)

  4. \(3 a^{5} - 3 a b^{4}\)

  5. \(x^{10} - x^{2} y^{8}\)

  6. \(a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4}\)

Réponse

Les expressions ont été factorisées en extrayant les facteurs communs et en utilisant la différence de carrés. Chaque polynôme a été décomposé en produits de facteurs simples et irréductibles.

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation
1) \(x^{3} - x\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les termes \(x^{3}\) et \(-x\) ont \(x\) en facteur commun.

    \[ x^{3} - x = x(x^{2} - 1) \]

  2. Factoriser la différence de carrés :

    L’expression \(x^{2} - 1\) est une différence de carrés, qui se factorise en \((x - 1)(x + 1)\).

    \[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

  3. Écrire la factorisation complète :

    \[ x^{3} - x = x(x - 1)(x + 1) \]

Factorisation finale :

\[ x^{3} - x = x(x - 1)(x + 1) \]


2) \(45 a^{4} - 5 b^{4}\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les termes \(45 a^{4}\) et \(-5 b^{4}\) ont \(5\) en facteur commun.

    \[ 45 a^{4} - 5 b^{4} = 5(9 a^{4} - b^{4}) \]

  2. Factoriser la différence de carrés :

    L’expression \(9 a^{4} - b^{4}\) peut être vue comme une différence de deux carrés, car \(9 a^{4} = (3a^{2})^{2}\) et \(b^{4} = (b^{2})^{2}\).

    \[ 9 a^{4} - b^{4} = (3a^{2})^{2} - (b^{2})^{2} = (3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]

  3. Factoriser davantage si possible :

    L’expression \(3a^{2} - b^{2}\) est également une différence de carrés.

    \[ 3a^{2} - b^{2} = (\sqrt{3}a - b)(\sqrt{3}a + b) \]

    Cependant, pour rester dans le cadre des polynômes à coefficients rationnels, on peut s’arrêter ici.

  4. Écrire la factorisation complète :

    \[ 45 a^{4} - 5 b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]

Factorisation finale :

\[ 45 a^{4} - 5 b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]


3) \(18 x^{2} - 50 y^{2}\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les termes \(18 x^{2}\) et \(-50 y^{2}\) ont \(2\) en facteur commun.

    \[ 18 x^{2} - 50 y^{2} = 2(9x^{2} - 25y^{2}) \]

  2. Factoriser la différence de carrés :

    L’expression \(9x^{2} - 25y^{2}\) est une différence de carrés, car \(9x^{2} = (3x)^{2}\) et \(25y^{2} = (5y)^{2}\).

    \[ 9x^{2} - 25y^{2} = (3x - 5y)(3x + 5y) \]

  3. Écrire la factorisation complète :

    \[ 18 x^{2} - 50 y^{2} = 2(3x - 5y)(3x + 5y) \]

Factorisation finale :

\[ 18 x^{2} - 50 y^{2} = 2(3x - 5y)(3x + 5y) \]


4) \(3 a^{5} - 3 a b^{4}\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les termes \(3 a^{5}\) et \(-3 a b^{4}\) ont \(3a\) en facteur commun.

    \[ 3 a^{5} - 3 a b^{4} = 3a(a^{4} - b^{4}) \]

  2. Factoriser la différence de carrés :

    L’expression \(a^{4} - b^{4}\) est une différence de carrés, car \(a^{4} = (a^{2})^{2}\) et \(b^{4} = (b^{2})^{2}\).

    \[ a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2}) \]

  3. Factoriser davantage la différence de carrés :

    L’expression \(a^{2} - b^{2}\) est également une différence de carrés.

    \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]

  4. Écrire la factorisation complète :

    \[ 3 a^{5} - 3 a b^{4} = 3a(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2}) \]

Factorisation finale :

\[ 3 a^{5} - 3 a b^{4} = 3a(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2}) \]


5) \(x^{10} - x^{2} y^{8}\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les termes \(x^{10}\) et \(-x^{2} y^{8}\) ont \(x^{2}\) en facteur commun.

    \[ x^{10} - x^{2} y^{8} = x^{2}(x^{8} - y^{8}) \]

  2. Factoriser la différence de puissances :

    L’expression \(x^{8} - y^{8}\) peut être factorisée en utilisant la formule de la différence de puissances.

    \[ x^{8} - y^{8} = (x^{4} - y^{4})(x^{4} + y^{4}) \]

  3. Factoriser davantage la différence de carrés :

    L’expression \(x^{4} - y^{4}\) est une différence de carrés.

    \[ x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y^{2})(x^{2} + y^{2}) \]

    De plus, \(x^{2} - y^{2}\) peut être factorisé une dernière fois.

    \[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]

  4. Écrire la factorisation complète :

    \[ x^{10} - x^{2} y^{8} = x^{2}(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4}) \]

Factorisation finale :

\[ x^{10} - x^{2} y^{8} = x^{2}(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4}) \]


6) \(a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4}\)

Étapes de factorisation :

  1. Identifier le facteur commun :

    Les termes \(a^{4} b^{6}\) et \(-a^{6} b^{4}\) ont \(a^{4} b^{4}\) en facteur commun.

    \[ a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4} = a^{4} b^{4}(b^{2} - a^{2}) \]

  2. Factoriser la différence de carrés :

    L’expression \(b^{2} - a^{2}\) est une différence de carrés.

    \[ b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a) \]

  3. Écrire la factorisation complète :

    \[ a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4} = a^{4} b^{4}(b - a)(b + a) \]

Factorisation finale :

\[ a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4} = a^{4} b^{4}(b - a)(b + a) \]

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer