Factoriser aussi complètement que possible :
\(x^{3} - x\)
\(45 a^{4} - 5 b^{4}\)
\(18 x^{2} - 50 y^{2}\)
\(3 a^{5} - 3 a b^{4}\)
\(x^{10} - x^{2} y^{8}\)
\(a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4}\)
Les expressions ont été factorisées en extrayant les facteurs communs et en utilisant la différence de carrés. Chaque polynôme a été décomposé en produits de facteurs simples et irréductibles.
Étapes de factorisation :
Identifier le facteur commun :
Les termes \(x^{3}\) et \(-x\) ont \(x\) en facteur commun.
\[ x^{3} - x = x(x^{2} - 1) \]
Factoriser la différence de carrés :
L’expression \(x^{2} - 1\) est une différence de carrés, qui se factorise en \((x - 1)(x + 1)\).
\[ x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Écrire la factorisation complète :
\[ x^{3} - x = x(x - 1)(x + 1) \]
Factorisation finale :
\[ x^{3} - x = x(x - 1)(x + 1) \]
Étapes de factorisation :
Identifier le facteur commun :
Les termes \(45 a^{4}\) et \(-5 b^{4}\) ont \(5\) en facteur commun.
\[ 45 a^{4} - 5 b^{4} = 5(9 a^{4} - b^{4}) \]
Factoriser la différence de carrés :
L’expression \(9 a^{4} - b^{4}\) peut être vue comme une différence de deux carrés, car \(9 a^{4} = (3a^{2})^{2}\) et \(b^{4} = (b^{2})^{2}\).
\[ 9 a^{4} - b^{4} = (3a^{2})^{2} - (b^{2})^{2} = (3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]
Factoriser davantage si possible :
L’expression \(3a^{2} - b^{2}\) est également une différence de carrés.
\[ 3a^{2} - b^{2} = (\sqrt{3}a - b)(\sqrt{3}a + b) \]
Cependant, pour rester dans le cadre des polynômes à coefficients rationnels, on peut s’arrêter ici.
Écrire la factorisation complète :
\[ 45 a^{4} - 5 b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]
Factorisation finale :
\[ 45 a^{4} - 5 b^{4} = 5(3a^{2} - b^{2})(3a^{2} + b^{2}) \]
Étapes de factorisation :
Identifier le facteur commun :
Les termes \(18 x^{2}\) et \(-50 y^{2}\) ont \(2\) en facteur commun.
\[ 18 x^{2} - 50 y^{2} = 2(9x^{2} - 25y^{2}) \]
Factoriser la différence de carrés :
L’expression \(9x^{2} - 25y^{2}\) est une différence de carrés, car \(9x^{2} = (3x)^{2}\) et \(25y^{2} = (5y)^{2}\).
\[ 9x^{2} - 25y^{2} = (3x - 5y)(3x + 5y) \]
Écrire la factorisation complète :
\[ 18 x^{2} - 50 y^{2} = 2(3x - 5y)(3x + 5y) \]
Factorisation finale :
\[ 18 x^{2} - 50 y^{2} = 2(3x - 5y)(3x + 5y) \]
Étapes de factorisation :
Identifier le facteur commun :
Les termes \(3 a^{5}\) et \(-3 a b^{4}\) ont \(3a\) en facteur commun.
\[ 3 a^{5} - 3 a b^{4} = 3a(a^{4} - b^{4}) \]
Factoriser la différence de carrés :
L’expression \(a^{4} - b^{4}\) est une différence de carrés, car \(a^{4} = (a^{2})^{2}\) et \(b^{4} = (b^{2})^{2}\).
\[ a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2}) \]
Factoriser davantage la différence de carrés :
L’expression \(a^{2} - b^{2}\) est également une différence de carrés.
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
Écrire la factorisation complète :
\[ 3 a^{5} - 3 a b^{4} = 3a(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2}) \]
Factorisation finale :
\[ 3 a^{5} - 3 a b^{4} = 3a(a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2}) \]
Étapes de factorisation :
Identifier le facteur commun :
Les termes \(x^{10}\) et \(-x^{2} y^{8}\) ont \(x^{2}\) en facteur commun.
\[ x^{10} - x^{2} y^{8} = x^{2}(x^{8} - y^{8}) \]
Factoriser la différence de puissances :
L’expression \(x^{8} - y^{8}\) peut être factorisée en utilisant la formule de la différence de puissances.
\[ x^{8} - y^{8} = (x^{4} - y^{4})(x^{4} + y^{4}) \]
Factoriser davantage la différence de carrés :
L’expression \(x^{4} - y^{4}\) est une différence de carrés.
\[ x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y^{2})(x^{2} + y^{2}) \]
De plus, \(x^{2} - y^{2}\) peut être factorisé une dernière fois.
\[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]
Écrire la factorisation complète :
\[ x^{10} - x^{2} y^{8} = x^{2}(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4}) \]
Factorisation finale :
\[ x^{10} - x^{2} y^{8} = x^{2}(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4}) \]
Étapes de factorisation :
Identifier le facteur commun :
Les termes \(a^{4} b^{6}\) et \(-a^{6} b^{4}\) ont \(a^{4} b^{4}\) en facteur commun.
\[ a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4} = a^{4} b^{4}(b^{2} - a^{2}) \]
Factoriser la différence de carrés :
L’expression \(b^{2} - a^{2}\) est une différence de carrés.
\[ b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a) \]
Écrire la factorisation complète :
\[ a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4} = a^{4} b^{4}(b - a)(b + a) \]
Factorisation finale :
\[ a^{4} b^{6} - a^{6} b^{4} = a^{4} b^{4}(b - a)(b + a) \]