Exercice 75

13. \(8x^{3} y z^{2} - 16x^{2} y^{2} z\)

14. \(12a^{4} - 24a^{4}b\)

15. \(3a^{3} - 7a^{4}\)

16. \(2x^{4} - 26x y^{2}\)

17. \(3x^{3} z^{3} - 2x^{3} y^{3}\)

18. \(2a^{3} - 14b^{2}\)

Réponse

Résumé des corrections

• Question 13 : \(8x^{3} y z^{2} - 16x^{2} y^{2} z = 8x^{2} y z (x z - 2y)\)
• Question 14 : \(12a^{4} - 24a^{4}b = 12a^{4} (1 - 2b)\)
• Question 15 : \(3a^{3} - 7a^{4} = a^{3} (3 - 7a)\)
• Question 16 : \(2x^{4} - 26x y^{2} = 2x (x^{3} - 13 y^{2})\)
• Question 17 : \(3x^{3} z^{3} - 2x^{3} y^{3} = x^{3} (3z^{3} - 2y^{3})\)
• Question 18 : \(2a^{3} - 14b^{2} = 2 (a^{3} - 7b^{2})\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Question 13. \(8x^{3} y z^{2} - 16x^{2} y^{2} z\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

Nous cherchons le plus grand facteur commun aux deux termes.

• Coefficient numérique : le plus grand commun diviseur de 8 et 16 est 8.
• Variables :
  • \(x^{3}\) et \(x^{2}\) ont comme facteur commun \(x^{2}\).
  • \(y\) et \(y^{2}\) ont comme facteur commun \(y\).
  • \(z^{2}\) et \(z\) ont comme facteur commun \(z\).

Ainsi, le facteur commun est \(8x^{2} y z\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On retire \(8x^{2} y z\) de chaque terme :

\[ 8x^{3} y z^{2} - 16x^{2} y^{2} z = 8x^{2} y z \left( \frac{8x^{3} y z^{2}}{8x^{2} y z} - \frac{16x^{2} y^{2} z}{8x^{2} y z} \right) \]

Simplifions chaque fraction :

\[ = 8x^{2} y z \left( x \cdot z - 2y \right) \]

Étape 3 : Écrire l’expression factorisée finale

\[ 8x^{3} y z^{2} - 16x^{2} y^{2} z = 8x^{2} y z (x z - 2y) \]

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Question 14. \(12a^{4} - 24a^{4}b\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

• Coefficient numérique : le plus grand commun diviseur de 12 et 24 est 12.
• Variables : les deux termes ont \(a^{4}\).

Ainsi, le facteur commun est \(12a^{4}\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On retire \(12a^{4}\) de chaque terme :

\[ 12a^{4} - 24a^{4}b = 12a^{4} \left( \frac{12a^{4}}{12a^{4}} - \frac{24a^{4}b}{12a^{4}} \right) \]

Simplifions chaque fraction :

\[ = 12a^{4} (1 - 2b) \]

Étape 3 : Écrire l’expression factorisée finale

\[ 12a^{4} - 24a^{4}b = 12a^{4} (1 - 2b) \]

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Question 15. \(3a^{3} - 7a^{4}\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

• Coefficient numérique : 3 et 7 n’ont pas de facteur commun autre que 1.
• Variables : les deux termes ont \(a^{3}\).

Ainsi, le facteur commun est \(a^{3}\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On retire \(a^{3}\) de chaque terme :

\[ 3a^{3} - 7a^{4} = a^{3} \left( \frac{3a^{3}}{a^{3}} - \frac{7a^{4}}{a^{3}} \right) \]

Simplifions chaque fraction :

\[ = a^{3} (3 - 7a) \]

Étape 3 : Écrire l’expression factorisée finale

\[ 3a^{3} - 7a^{4} = a^{3} (3 - 7a) \]

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Question 16. \(2x^{4} - 26x y^{2}\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

• Coefficient numérique : le plus grand commun diviseur de 2 et 26 est 2.
• Variables : les deux termes ont \(x\).

Ainsi, le facteur commun est \(2x\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On retire \(2x\) de chaque terme :

\[ 2x^{4} - 26x y^{2} = 2x \left( \frac{2x^{4}}{2x} - \frac{26x y^{2}}{2x} \right) \]

Simplifions chaque fraction :

\[ = 2x (x^{3} - 13 y^{2}) \]

Étape 3 : Écrire l’expression factorisée finale

\[ 2x^{4} - 26x y^{2} = 2x (x^{3} - 13 y^{2}) \]

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Question 17. \(3x^{3} z^{3} - 2x^{3} y^{3}\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

• Coefficient numérique : 3 et 2 n’ont pas de facteur commun autre que 1.
• Variables : les deux termes ont \(x^{3}\).

Ainsi, le facteur commun est \(x^{3}\).

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On retire \(x^{3}\) de chaque terme :

\[ 3x^{3} z^{3} - 2x^{3} y^{3} = x^{3} \left( \frac{3x^{3} z^{3}}{x^{3}} - \frac{2x^{3} y^{3}}{x^{3}} \right) \]

Simplifions chaque fraction :

\[ = x^{3} (3z^{3} - 2y^{3}) \]

Étape 3 : Écrire l’expression factorisée finale

\[ 3x^{3} z^{3} - 2x^{3} y^{3} = x^{3} (3z^{3} - 2y^{3}) \]

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Question 18. \(2a^{3} - 14b^{2}\)

Étape 1 : Identifier le facteur commun

• Coefficient numérique : le plus grand commun diviseur de 2 et 14 est 2.
• Variables : aucun facteur commun entre les deux termes.

Ainsi, le facteur commun est 2.

Étape 2 : Factoriser le facteur commun

On retire 2 de chaque terme :

\[ 2a^{3} - 14b^{2} = 2 \left( \frac{2a^{3}}{2} - \frac{14b^{2}}{2} \right) \]

Simplifions chaque fraction :

\[ = 2 (a^{3} - 7b^{2}) \]

Étape 3 : Écrire l’expression factorisée finale

\[ 2a^{3} - 14b^{2} = 2 (a^{3} - 7b^{2}) \]