Par quel monôme faut-il multiplier le polynôme \(5 x^{2} - 2 x - 1\) pour obtenir \(15 x^{3} - 6 x^{2} - 3 x\) ?
Le monôme cherché est 3x.
Nous cherchons un monôme (c’est-à-dire une expression de la forme k·xⁿ, avec k un nombre et n un entier naturel) qui, multiplié par le polynôme 5x² - 2x - 1, donne le polynôme 15x³ - 6x² - 3x.
Étape 1 : Choix du degré du monôme
Legré du polynôme 5x² - 2x - 1 est 2. Pour obtenir un polynôme dont le terme de plus haut degré est en x³, il faut que le monôme soit de degré 1 (car 2 + 1 = 3). On pose donc le monôme sous la forme k·x.
Étape 2 : Écriture du produit
On multiplie le polynôme par k·x :
k·x × (5x² - 2x - 1) = 5k·x³ - 2k·x² - k·x
Étape 3 : Comparaison des coefficients
Le polynôme obtenu doit être égal à 15x³ - 6x² - 3x. On compare les coefficients de chaque puissance de x :
Pour x³ : 5k = 15
Pour x² : -2k = -6
Pour x : -k = -3
Dans chaque comparaison, on peut trouver la valeur de k :
5k = 15 ⟹ k = 15 ÷ 5 = 3
-2k = -6 ⟹ k = (-6) ÷ (-2) = 3
-k = -3 ⟹ k = -3 ÷ (-1) = 3
Dans tous les cas, on trouve k = 3.
Étape 4 : Conclusion
Le monôme recherché est donc 3x.
Ainsi, pour obtenir 15x³ - 6x² - 3x, il faut multiplier le polynôme 5x² - 2x - 1 par 3x.