Exercice 73

Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible :

  1. \(\left(\frac{x^{2}-x-20}{x^{2}+2x+1} \cdot \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x-12}\right) : \frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-3x-10}\)

  2. \(\frac{x-6}{x^{2}+6x+9} : \left(\frac{x^{3}-4x}{x^{2}+4x+4} \cdot \frac{x^{2}-4x-12}{x^{3}-9x}\right)\)

  3. \(1 : \left(\frac{xy-y^{2}}{x^{2}-xy} \cdot \frac{x^{4}+x^{3}y}{xy} \cdot \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}-y^{4}}\right)\)

Réponse

Réponses Simplifiées

Exercice 1 : \[ \boxed{\frac{(x - 5)(x + 2)}{(x + 1)^{2}}} \]

Exercice 2 : \[ \boxed{\frac{(x + 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 2)}} \]

Exercice 3 : \[ \boxed{\frac{x - y}{x}} \]

Corrigé détaillé

Correction de l’Exercice 1

Question : \[ \left(\frac{x^{2}-x-20}{x^{2}+2x+1} \cdot \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x-12}\right) : \frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-3x-10} \]

Étape 1 : Factorisation de chaque polynôme

  1. Factoriser \(x^{2} - x - 20\) : \[ x^{2} - x - 20 = (x - 5)(x + 4) \] Car : \(-5 \times 4 = -20\) et \(-5 + 4 = -1\).

  2. Factoriser \(x^{2} + 2x + 1\) : \[ x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2} \] Car c’est un carré parfait.

  3. Factoriser \(x^{2} - 2x - 3\) : \[ x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Car : \(-3 \times 1 = -3\) et \(-3 + 1 = -2\).

  4. Factoriser \(x^{2} + x - 12\) : \[ x^{2} + x - 12 = (x + 4)(x - 3) \] Car : \(4 \times -3 = -12\) et \(4 - 3 = 1\).

  5. Factoriser \(x^{2} - 4x - 5\) : \[ x^{2} - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) \] Car : \(-5 \times 1 = -5\) et \(-5 + 1 = -4\).

  6. Factoriser \(x^{2} - 3x - 10\) : \[ x^{2} - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \] Car : \(-5 \times 2 = -10\) et \(-5 + 2 = -3\).

Étape 2 : Remplacer les polynômes factorisés dans l’expression

\[ \left( \frac{(x - 5)(x + 4)}{(x + 1)^{2}} \cdot \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x + 4)(x - 3)} \right) : \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 5)(x + 2)} \]

Étape 3 : Simplification des fractions

  1. Simplifier le numérateur :

    • \(x + 4\) apparaît au numérateur et au dénominateur, donc on les annule.
    • \(x - 3\) apparaît également au numérateur et au dénominateur, donc on les annule.

    Il reste : \[ \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{x - 5}{x + 1} \]

  2. Simplifier le dénominateur : \[ \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{x + 1}{x + 2} \]

Étape 4 : Effectuer la division

Diviser par une fraction équivaut à multiplier par son inverse : \[ \frac{x - 5}{x + 1} \div \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x - 5}{x + 1} \times \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x + 1)^{2}} \]

Réponse Simplifiée : \[ \boxed{\frac{(x - 5)(x + 2)}{(x + 1)^{2}}} \]


Correction de l’Exercice 2

Question : \[ \frac{x-6}{x^{2}+6x+9} : \left(\frac{x^{3}-4x}{x^{2}+4x+4} \cdot \frac{x^{2}-4x-12}{x^{3}-9x}\right) \]

Étape 1 : Factorisation de chaque polynôme

  1. Factoriser \(x^{2} + 6x + 9\) : \[ x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2} \] Car c’est un carré parfait.

  2. Factoriser \(x^{3} - 4x\) : \[ x^{3} - 4x = x(x^{2} - 4) = x(x - 2)(x + 2) \] Par extraction de \(x\) et factorisation de la différence de carrés.

  3. Factoriser \(x^{2} + 4x + 4\) : \[ x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2} \] Car c’est un carré parfait.

  4. Factoriser \(x^{2} - 4x - 12\) : \[ x^{2} - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) \] Car : \(-6 \times 2 = -12\) et \(-6 + 2 = -4\).

  5. Factoriser \(x^{3} - 9x\) : \[ x^{3} - 9x = x(x^{2} - 9) = x(x - 3)(x + 3) \] Par extraction de \(x\) et factorisation de la différence de carrés.

Étape 2 : Remplacer les polynômes factorisés dans l’expression

\[ \frac{x - 6}{(x + 3)^{2}} : \left( \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^{2}} \cdot \frac{(x - 6)(x + 2)}{x(x - 3)(x + 3)} \right) \]

Étape 3 : Simplification des fractions

  1. Simplifier le produit à l’intérieur des parenthèses : \[ \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^{2}} \cdot \frac{(x - 6)(x + 2)}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x + 2)(x - 3)(x + 3)} \] Annulation de \(x\) et \(x + 2\).

  2. Effectuer la division initiale : \[ \frac{x - 6}{(x + 3)^{2}} \div \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x + 2)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 6}{(x + 3)^{2}} \times \frac{(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 6)} \] Car diviser par une fraction équivaut à multiplier par son inverse.

  3. Simplifier en annulant les facteurs communs :

    • \(x - 6\) apparaît au numérateur et au dénominateur, on les annule.
    • \(x + 3\) apparaît une fois au numérateur et deux fois au dénominateur, il reste un \((x + 3)\) au dénominateur.

    Il reste : \[ \frac{(x + 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 2)} \]

Réponse Simplifiée : \[ \boxed{\frac{(x + 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 2)}} \]


Correction de l’Exercice 3

Question : \[ 1 : \left(\frac{xy - y^{2}}{x^{2} - xy} \cdot \frac{x^{4} + x^{3}y}{xy} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{4} - y^{4}}\right) \]

Étape 1 : Factorisation de chaque polynôme

  1. Factoriser \(xy - y^{2}\) : \[ xy - y^{2} = y(x - y) \] Extraction du facteur commun \(y\).

  2. Factoriser \(x^{2} - xy\) : \[ x^{2} - xy = x(x - y) \] Extraction du facteur commun \(x\).

  3. Factoriser \(x^{4} + x^{3}y\) : \[ x^{4} + x^{3}y = x^{3}(x + y) \] Extraction du facteur commun \(x^{3}\).

  4. Factoriser \(x^{4} - y^{4}\) : \[ x^{4} - y^{4} = (x^{2})^{2} - (y^{2})^{2} = (x^{2} - y^{2})(x^{2} + y^{2}) = (x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2}) \] Différence de carrés deux fois.

Étape 2 : Remplacer les polynômes factorisés dans l’expression

\[ 1 : \left( \frac{y(x - y)}{x(x - y)} \cdot \frac{x^{3}(x + y)}{xy} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})} \right) \]

Étape 3 : Simplification des fractions

  1. Simplifier chaque fraction individuellement :

    • \(\frac{y(x - y)}{x(x - y)} = \frac{y}{x}\)
    • \(\frac{x^{3}(x + y)}{xy} = \frac{x^{2}(x + y)}{y}\)
    • \(\frac{x^{2} + y^{2}}{(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})} = \frac{1}{(x - y)(x + y)}\)
  2. Multiplier les fractions simplifiées : \[ \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2}(x + y)}{y} \cdot \frac{1}{(x - y)(x + y)} \] Annulation de \(y\).

  3. Simplifier davantage :

    • \(x\) dans le dénominateur et \(x^{2}\) dans le numérateur simplifient en \(x\).
    • \(x + y\) apparaît au numérateur et au dénominateur, on les annule.

    Il reste : \[ \frac{x}{(x - y)} \]

Étape 4 : Effectuer la division initiale

Diviser 1 par la fraction obtenue : \[ 1 : \frac{x}{(x - y)} = \frac{(x - y)}{x} \]

Réponse Simplifiée : \[ \boxed{\frac{x - y}{x}} \]

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