Exercice 72

Question : Les expressions suivantes sont-elles des sommes ou des produits de polynômes ?

1. \(7x + 9\)

2. \(4z \cdot 3y\)

3. \(-3x \cdot (4 + 7x)\)

4. \(50x - (6 \cdot x \cdot 3)\)

5. \(45x^{2} + 30x - 12\)

6. \((12c - 18)^{2}\)

7. \((6m - 9)(6m + 9)\)

8. \((6b - 9)(5b + 15) + (6b - 9)(2 - b)\)

9. \(20 \cdot xy^{2} \cdot 3 - 5 \cdot xy \cdot 4\)

Réponse

Les expressions résolues sont des sommes ou des produits de polynômes, simplifiées et factorisées selon chaque cas.

Corrigé détaillé

Correction des exercices

a) \(7x + 9\)

Type d’expression : Somme de polynômes

Explication :

1. Identification des termes :
   • \(7x\) : un terme de premier degré.
   • \(9\) : un terme constant.
2. Opération utilisée :
   • Les deux termes sont additionnés, ce qui constitue une somme.
3. Conclusion :
   • L’expression \(7x + 9\) est une somme de deux polynômes.

b) \(4z \cdot 3y\)

Type d’expression : Produit de polynômes

Explication :

1. Identification des facteurs :

   • \(4z\) : un polynôme de premier degré.
   • \(3y\) : un polynôme de premier degré.

2. Opération utilisée :

   • Les deux polynômes sont multipliés, ce qui constitue un produit.

3. Calcul du produit : \[ 4z \cdot 3y = 12zy \]

4. Conclusion :

   • L’expression \(4z \cdot 3y\) est un produit de deux polynômes.

c) \(-3x \cdot (4 + 7x)\)

Type d’expression : Produit de polynômes

Explication :

1. Identification des facteurs :

   • \(-3x\) : un polynôme de premier degré.
   • \(4 + 7x\) : un polynôme de premier degré.

2. Opération utilisée :

   • Les deux polynômes sont multipliés, ce qui constitue un produit.

3. Développement du produit : \[ -3x \cdot 4 + (-3x) \cdot 7x = -12x - 21x^2 \]

4. Réarrangement des termes : \[ -21x^2 - 12x \]

5. Conclusion :

   • L’expression \(-3x \cdot (4 + 7x)\) est un produit de deux polynômes.

d) \(50x - (6 \cdot x \cdot 3)\)

Type d’expression : Somme de polynômes

Explication :

1. Simplification : \[ 6 \cdot x \cdot 3 = 18x \]

2. Réécriture de l’expression : \[ 50x - 18x \]

3. Combinaison des termes semblables : \[ 50x - 18x = 32x \]

4. Conclusion :

   • L’expression \(50x - (6 \cdot x \cdot 3)\) est une somme (ou une différence) de polynômes simplifiée en \(32x\).

e) \(45x^{2} + 30x - 12\)

Type d’expression : Somme de polynômes

Explication :

1. Identification des termes :
   • \(45x^{2}\) : un terme de deuxième degré.
   • \(30x\) : un terme de premier degré.
   • \(-12\) : un terme constant.
2. Opération utilisée :
   • Les termes sont additionnés ou soustraits, formant une somme de polynômes.
3. Conclusion :
   • L’expression \(45x^{2} + 30x - 12\) est une somme de trois polynômes.

f) \((12c - 18)^{2}\)

Type d’expression : Produit de polynômes (élévation au carré)

Explication :

1. Identification du polynôme :

   • \(12c - 18\) : un polynôme de premier degré.

2. Élévation au carré : \[ (12c - 18)^{2} = (12c - 18) \cdot (12c - 18) \]

3. Développement du produit : \[ = 12c \cdot 12c + 12c \cdot (-18) + (-18) \cdot 12c + (-18) \cdot (-18) \] \[ = 144c^{2} - 216c - 216c + 324 \] \[ = 144c^{2} - 432c + 324 \]

4. Conclusion :

   • L’expression \((12c - 18)^{2}\) est un produit de polynômes résultant de l’élévation au carré d’un polynôme.

g) \((6m - 9)(6m + 9)\)

Type d’expression : Produit de polynômes

Explication :

1. Identification des facteurs :

   • \(6m - 9\) : un polynôme de premier degré.
   • \(6m + 9\) : un polynôme de premier degré.

2. Opération utilisée :

   • Les deux polynômes sont multipliés, formant un produit.

3. Utilisation de la formule du produit de conjugés : \[ (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2} \] Où \(a = 6m\) et \(b = 9\).

4. Calcul : \[ (6m)^{2} - 9^{2} = 36m^{2} - 81 \]

5. Conclusion :

   • L’expression \((6m - 9)(6m + 9)\) est un produit de deux polynômes simplifié en \(36m^{2} - 81\).

h) \((6b - 9)(5b + 15) + (6b - 9)(2 - b)\)

Type d’expression : Somme et produit de polynômes

Explication :

1. Identification des termes communs :

   • Les deux termes contiennent le facteur commun \(6b - 9\).

2. Factorisation : \[ (6b - 9)(5b + 15) + (6b - 9)(2 - b) = (6b - 9) \left[ (5b + 15) + (2 - b) \right] \]

3. Simplification de l’expression entre crochets : \[ (5b + 15) + (2 - b) = 5b - b + 15 + 2 = 4b + 17 \]

4. Réécriture de l’expression factorisée : \[ (6b - 9)(4b + 17) \]

5. Conclusion :

   • L’expression initiale est une somme de deux produits de polynômes, qui peut être factorisée en un seul produit \((6b - 9)(4b + 17)\).

i) \(20 \cdot xy^{2} \cdot 3 - 5 \cdot xy \cdot 4\)

Type d’expression : Somme et produit de polynômes

Explication :

1. Simplification des coefficients : \[ 20 \cdot xy^{2} \cdot 3 = 60xy^{2} \] \[ 5 \cdot xy \cdot 4 = 20xy \]

2. Réécriture de l’expression : \[ 60xy^{2} - 20xy \]

3. Factorisation par le facteur commun \(20xy\) : \[ 60xy^{2} - 20xy = 20xy (3y - 1) \]

4. Conclusion :

   • L’expression \(20 \cdot xy^{2} \cdot 3 - 5 \cdot xy \cdot 4\) est une somme de deux produits de polynômes, factorisée en \(20xy (3y - 1)\).