Question : Soit \(F = (2x - 5)(3x + 4) + (3x + 4)(x + 1)\).
Factorise \(F\).
Résous l’équation \(F = 0\).
F = (3x + 4)(3x – 4) ; l’équation F = 0 conduit aux solutions x = –4/3 et x = 4/3.
Nous avons : F = (2x – 5)(3x + 4) + (3x + 4)(x + 1).
───────────────────────────── Étape 1 : Factorisation de F
1.1 Tout d’abord, on remarque que le facteur (3x + 4) apparaît dans
les deux termes de F.
F = (3x + 4)(2x – 5) + (3x + 4)(x + 1).
1.2 On peut donc factoriser (3x + 4) :
F = (3x + 4)[(2x – 5) + (x + 1)].
1.3 Regroupons et simplifions l’expression entre crochets :
(2x – 5) + (x + 1) = 2x + x – 5 + 1 = 3x – 4.
1.4 On obtient ainsi :
F = (3x + 4)(3x – 4).
───────────────────────────── Étape 2 : Résolution de l’équation F = 0
L’équation se transforme en :
(3x + 4)(3x – 4) = 0.
2.1 Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si au moins
l’un des deux facteurs est nul.
On a donc deux cas :
Cas 1 : 3x + 4 = 0
– Soustrayons 4 de chaque côté : 3x = –4
– Divisons par 3 : x = –4/3.
Cas 2 : 3x – 4 = 0
– Ajoutons 4 de chaque côté : 3x = 4
– Divisons par 3 : x = 4/3.
───────────────────────────── Conclusion
Cette démarche permet de voir comment, en identifiant un facteur commun, la factorisation simplifiée du polynôme facilite la résolution de l’équation associée.