Question : Factorise puis réduis chaque expression.
\[ A = (4 + 3x)^2 - 9 \]
\[ B = 64 - (2x + 5)^2 \]
\[ C = (6x - 7)^2 - (10 + 4x)^2 \]
Résultats :
\[ A = (4 + 3x)^2 - 9 \]
L’expression \(A\) est une différence de carrés, car elle peut être écrite sous la forme \(a^2 - b^2\), où : - \(a = 4 + 3x\) - \(b = 3\) (car \(3^2 = 9\))
La formule de la différence de carrés est : \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
En appliquant cette formule à \(A\) : \[ A = (4 + 3x - 3)(4 + 3x + 3) \]
Simplifions chaque parenthèse : - Première parenthèse : \[ 4 + 3x - 3 = 1 + 3x \] - Deuxième parenthèse : \[ 4 + 3x + 3 = 7 + 3x \]
Ainsi, l’expression factorisée devient : \[ A = (1 + 3x)(7 + 3x) \]
Développons les deux facteurs : \[ (1 + 3x)(7 + 3x) = 1 \cdot 7 + 1 \cdot 3x + 3x \cdot 7 + 3x \cdot 3x \] \[ = 7 + 3x + 21x + 9x^2 \]
Regroupons les termes similaires : \[ A = 9x^2 + 24x + 7 \]
\[ B = 64 - (2x + 5)^2 \]
L’expression \(B\) est également une différence de carrés : - \(a = 8\) (car \(8^2 = 64\)) - \(b = 2x + 5\)
En utilisant la formule : \[ B = (8 - (2x + 5))(8 + (2x + 5)) \]
Simplifions chaque parenthèse : - Première parenthèse : \[ 8 - (2x + 5) = 8 - 2x - 5 = 3 - 2x \] - Deuxième parenthèse : \[ 8 + (2x + 5) = 8 + 2x + 5 = 13 + 2x \]
Ainsi, l’expression factorisée devient : \[ B = (3 - 2x)(13 + 2x) \]
Développons les deux facteurs : \[ (3 - 2x)(13 + 2x) = 3 \cdot 13 + 3 \cdot 2x - 2x \cdot 13 - 2x \cdot 2x \] \[ = 39 + 6x - 26x - 4x^2 \]
Regroupons les termes similaires : \[ B = -4x^2 - 20x + 39 \]
\[ C = (6x - 7)^2 - (10 + 4x)^2 \]
L’expression \(C\) est une différence de carrés : - \(a = 6x - 7\) - \(b = 10 + 4x\)
En utilisant la formule : \[ C = (6x - 7 - (10 + 4x))(6x - 7 + (10 + 4x)) \]
Simplifions chaque parenthèse : - Première parenthèse : \[ 6x - 7 - 10 - 4x = (6x - 4x) + (-7 - 10) = 2x - 17 \] - Deuxième parenthèse : \[ 6x - 7 + 10 + 4x = (6x + 4x) + (-7 + 10) = 10x + 3 \]
Ainsi, l’expression factorisée devient : \[ C = (2x - 17)(10x + 3) \]
Développons les deux facteurs : \[ (2x - 17)(10x + 3) = 2x \cdot 10x + 2x \cdot 3 - 17 \cdot 10x - 17 \cdot 3 \] \[ = 20x^2 + 6x - 170x - 51 \]
Regroupons les termes similaires : \[ C = 20x^2 - 164x - 51 \]