Question : Factorise puis réduis chaque expression.
\[ M = \left( \frac{3}{4}y + 2 \right)(y - 6) + \left(4y + 8\right)\left( \frac{3}{4}y + 2 \right) \]
\[ N = \left( 2s + \frac{2}{5} \right)(s - 7) - \left(s - 7\right)\left( -3s + \frac{3}{7} \right) \]
Réponse courte :
Pour l’expression \(M\) : \[ M = \left( \frac{3}{4}y + 2 \right)(5y + 2) \]
Pour l’expression \(N\) : \[ N = (s - 7)\left(5s - \frac{1}{35}\right) \]
Nous allons factoriser puis réduire chaque expression donnée en suivant des étapes claires et détaillées.
\[ M = \left( \frac{3}{4}y + 2 \right)(y - 6) + \left(4y + 8\right)\left( \frac{3}{4}y + 2 \right) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Observons que le terme \(\left( \frac{3}{4}y + 2 \right)\) est présent dans les deux produits. Cela signifie que nous pouvons le factoriser.
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \(\left( \frac{3}{4}y + 2 \right)\) :
\[ M = \left( \frac{3}{4}y + 2 \right) \left[ (y - 6) + (4y + 8) \right] \]
Étape 3 : Simplifier l’expression entre crochets
Additionnons les termes à l’intérieur des crochets :
\[ (y - 6) + (4y + 8) = y + 4y - 6 + 8 = 5y + 2 \]
Étape 4 : Écrire l’expression factorisée
Maintenant, substituons cette simplification dans l’expression factorisée :
\[ M = \left( \frac{3}{4}y + 2 \right)(5y + 2) \]
Étape 5 : Réduire si nécessaire
L’expression est déjà factorisée et simplifiée. Toutefois, si vous souhaitez développer l’expression, cela donnerait :
\[ M = \frac{3}{4}y \cdot 5y + \frac{3}{4}y \cdot 2 + 2 \cdot 5y + 2 \cdot 2 = \frac{15}{4}y^2 + \frac{3}{2}y + 10y + 4 = \frac{15}{4}y^2 + \frac{23}{2}y + 4 \]
Mais selon l’énoncé, la factorisation est suffisante.
\[ N = \left( 2s + \frac{2}{5} \right)(s - 7) - \left(s - 7\right)\left( -3s + \frac{3}{7} \right) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Le terme \((s - 7)\) est commun aux deux produits.
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((s - 7)\) :
\[ N = (s - 7) \left[ \left(2s + \frac{2}{5}\right) - \left(-3s + \frac{3}{7}\right) \right] \]
Étape 3 : Simplifier l’expression entre crochets
Effectuons les opérations à l’intérieur des crochets :
\[ \left(2s + \frac{2}{5}\right) - \left(-3s + \frac{3}{7}\right) = 2s + \frac{2}{5} + 3s - \frac{3}{7} = (2s + 3s) + \left( \frac{2}{5} - \frac{3}{7} \right) = 5s + \left( \frac{14}{35} - \frac{15}{35} \right) = 5s - \frac{1}{35} \]
Étape 4 : Écrire l’expression factorisée
Substituons cette simplification dans l’expression factorisée :
\[ N = (s - 7) \left( 5s - \frac{1}{35} \right) \]
Étape 5 : Réduire si nécessaire
L’expression est déjà factorisée et simplifiée. Si nécessaire, on peut également exprimer le terme constant de manière plus claire :
\[ 5s - \frac{1}{35} = \frac{175s - 1}{35} \]
Ainsi, l’expression factorisée devient :
\[ N = (s - 7) \left( \frac{175s - 1}{35} \right) \]
Cela conclut la factorisation et la réduction des expressions \(M\) et \(N\).