Exercice 68

1. Simplifiez l’expression suivante :

   \[a^{2} x \cdot (2x - 1) - a^{2} y \cdot (2x - 1) + 2 \cdot (2x - 1) \cdot a\]

2. Simplifiez l’expression suivante :

   \[2x^{3} \cdot (2a + b) + 4x^{2}y \cdot (2a + b) + 6x^{2} \cdot (2a + b)\]

3. Simplifiez l’expression suivante :

   \[y^{2} \cdot (b - a) - 4xy \cdot (b - a) + (b - a) \cdot 4x^{2}\]

4. Simplifiez l’expression suivante :

   \[9x \cdot (x + y) + (x + y) \cdot 4x^{3} + 12x^{2} \cdot (x + y)\]

5. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\left(x^{2} - y^{2}\right) \cdot a^{2} + 2a \cdot \left(x^{2} - y^{2}\right) \cdot b - b^{2} \cdot \left(y^{2} - x^{2}\right)\]

6. Simplifiez l’expression suivante :

   \[x^{2} \cdot (a - 2) - 4x \cdot (2 - a) - 12 \cdot (a - 2)\]

Réponse

Voici les réponses finales :

1. (2x – 1)[a²(x – y) + 2a]
   
2. 2x²·(2a + b)·(x + 2y + 3)
   
3. (b – a)·(y – 2x)²
   
4. x·(x + y)·(2x + 3)²
   
5. (x² – y²)·(a + b)²
   
6. (a – 2)·(x + 6)·(x – 2)

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chacune des expressions en remarquant les facteurs communs, en factorisant et en réduisant les termes. Voici le détail des corrections.

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Exercice 1

Expression à simplifier :
  a²·x·(2x – 1) – a²·y·(2x – 1) + 2·a·(2x – 1)

1. On remarque dans chaque terme le facteur commun (2x – 1). On factorise ce terme :   a²·x·(2x – 1) – a²·y·(2x – 1) + 2a·(2x – 1) = (2x – 1) · [a²·x – a²·y + 2a].

2. Le résultat est ainsi factorisé sous la forme :
     (2x – 1)[a²(x – y) + 2a].

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Exercice 2

Expression à simplifier :
  2x³·(2a + b) + 4x²y·(2a + b) + 6x²·(2a + b)

1. Chaque terme a (2a + b) en facteur. On factorise (2a + b) :
     = (2a + b)[2x³ + 4x²y + 6x²].

2. Dans l’expression entre crochets, on remarque que 2x² est commun :   2x³ + 4x²y + 6x² = 2x²·(x + 2y + 3).

3. La forme simplifiée devient :
     2x²·(2a + b)·(x + 2y + 3).

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Exercice 3

Expression à simplifier :
  y²·(b – a) – 4xy·(b – a) + 4x²·(b – a)

1. Chaque terme contient (b – a). On factorise ce facteur :
     = (b – a)[y² – 4xy + 4x²].

2. L’expression entre crochets est un carré parfait. En effet,
     (y – 2x)² = y² – 2·2x·y + (2x)² = y² – 4xy + 4x².

3. On obtient donc :
     (b – a)·(y – 2x)².

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Exercice 4

Expression à simplifier :
  9x·(x + y) + 4x³·(x + y) + 12x²·(x + y)

1. Le facteur commun (x + y) peut être mis en évidence :
     = (x + y)[9x + 4x³ + 12x²].

2. Dans la parenthèse, on range par puissance de x et on remarque que x est commun à tous les termes :
     9x + 4x³ + 12x² = x·(9 + 4x² + 12x).

3. Pour un ordre décroissant, on peut réécrire l’expression entre parenthèses comme :
     4x² + 12x + 9.
     On reconnaît alors un carré parfait puisque
     (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.

4. L’expression simplifiée devient ainsi :
     x·(x + y)·(2x + 3)².

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Exercice 5

Expression à simplifier :
  (x² – y²)·a² + 2a·(x² – y²)·b – b²·(y² – x²)

1. Tout d’abord, remarquez que y² – x² = –(x² – y²). Ainsi, le troisième terme se transforme :   – b²·(y² – x²) = – b²·[–(x² – y²)] = b²·(x² – y²).

2. Regroupons ensuite les termes qui contiennent le facteur (x² – y²) :   = (x² – y²)·a² + 2ab·(x² – y²) + b²·(x² – y²).

3. On factorise (x² – y²) :
     = (x² – y²)[a² + 2ab + b²].

4. L’expression entre crochets est un carré parfait puisque
     a² + 2ab + b² = (a + b)².

5. Le résultat final est :
     (x² – y²)·(a + b)².

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Exercice 6

Expression à simplifier :
  x²·(a – 2) – 4x·(2 – a) – 12·(a – 2)

1. Observer que (2 – a) = –(a – 2). Ainsi,
     – 4x·(2 – a) = – 4x·[–(a – 2)] = 4x·(a – 2).

2. L’expression se réécrit alors :
     = x²·(a – 2) + 4x·(a – 2) – 12·(a – 2).

3. On factorise le facteur commun (a – 2) :
     = (a – 2)[x² + 4x – 12].

4. Il reste à factoriser le trinôme x² + 4x – 12. Cherchons deux nombres dont le produit est –12 et la somme est 4. Ces nombres sont 6 et –2 car 6 × (–2) = –12 et 6 + (–2) = 4.   On écrit donc : x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2).

5. Le résultat final est :
     (a – 2)·(x + 6)·(x – 2).

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Récapitulatif des réponses

1. (2x – 1)[a²(x – y) + 2a]
   
2. 2x²·(2a + b)·(x + 2y + 3)
   
3. (b – a)·(y – 2x)²
   
4. x·(x + y)·(2x + 3)²
   
5. (x² – y²)·(a + b)²
   
6. (a – 2)·(x + 6)·(x – 2)

Chaque étape a permis de mettre en évidence les facteurs communs et de reconnaître des structures remarquables (par exemple, les carrés parfaits et le trinôme factorisable). Ces techniques de factorisation sont très utiles pour simplifier des expressions algébriques.