Factorisez aussi complètement que possible :
Résumé des factorisations :
Bien sûr, voici les corrections détaillées pour chaque exercice de factorisation :
\[ a^{2}(x - y) - b^{2}(x - y) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes de l’expression contiennent le facteur commun \((x - y)\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((x - y)\) :
\[ a^{2}(x - y) - b^{2}(x - y) = (x - y)(a^{2} - b^{2}) \]
Étape 3 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(a^{2} - b^{2}\) est une différence de carrés, que l’on peut factoriser davantage :
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
Étape 4 : Écrire la factorisation complète
En remplaçant dans l’expression précédente, on obtient :
\[ (x - y)(a - b)(a + b) \]
Réponse finale :
\[ (x - y)(a - b)(a + b) \]
\[ 16(a - b) - x^{4}(a - b) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur commun \((a - b)\).
Étape 2 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((a - b)\) :
\[ 16(a - b) - x^{4}(a - b) = (a - b)(16 - x^{4}) \]
Étape 3 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(16 - x^{4}\) peut être vue comme une différence de carrés :
\[ 16 - x^{4} = (4)^{2} - (x^{2})^{2} = (4 - x^{2})(4 + x^{2}) \]
Étape 4 : Factoriser davantage si possible
L’expression \(4 - x^{2}\) est encore une différence de carrés :
\[ 4 - x^{2} = (2 - x)(2 + x) \]
L’expression \(4 + x^{2}\) ne se factorise pas davantage avec des nombres réels.
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
En combinant toutes les factorisations précédentes :
\[ (a - b)(2 - x)(2 + x)(4 + x^{2}) \]
Réponse finale :
\[ (a - b)(2 - x)(2 + x)(4 + x^{2}) \]
\[ 2ab^{2}(2x + y) - 2ay^{2}(2x + y) \]
Étape 1 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent les facteurs communs \(2a\) et \((2x + y)\).
Étape 2 : Factoriser les facteurs communs
Factorisons \(2a(2x + y)\) :
\[ 2ab^{2}(2x + y) - 2ay^{2}(2x + y) = 2a(2x + y)(b^{2} - y^{2}) \]
Étape 3 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(b^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés et peut être factorisée :
\[ b^{2} - y^{2} = (b - y)(b + y) \]
Étape 4 : Écrire la factorisation complète
En remplaçant dans l’expression précédente :
\[ 2a(2x + y)(b - y)(b + y) \]
Réponse finale :
\[ 2a(2x + y)(b - y)(b + y) \]
\[ a^{2}(a - b) + b^{2}(b - a) \]
Étape 1 : Simplifier les termes
Observons que \(b - a = -(a - b)\). Remplaçons dans l’expression :
\[ a^{2}(a - b) + b^{2}(b - a) = a^{2}(a - b) - b^{2}(a - b) \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur commun \((a - b)\).
Étape 3 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((a - b)\) :
\[ a^{2}(a - b) - b^{2}(a - b) = (a - b)(a^{2} - b^{2}) \]
Étape 4 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(a^{2} - b^{2}\) est une différence de carrés et peut être factorisée :
\[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
En combinant les factorisations :
\[ (a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)^{2}(a + b) \]
Réponse finale :
\[ (a - b)^{2}(a + b) \]
\[ 9(2x - y) + y^{2}(y - 2x) \]
Étape 1 : Réarranger les termes
Observons que \(y - 2x = -(2x - y)\). Remplaçons dans l’expression :
\[ 9(2x - y) + y^{2}(y - 2x) = 9(2x - y) - y^{2}(2x - y) \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur commun \((2x - y)\).
Étape 3 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((2x - y)\) :
\[ 9(2x - y) - y^{2}(2x - y) = (2x - y)(9 - y^{2}) \]
Étape 4 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(9 - y^{2}\) est une différence de carrés et peut être factorisée :
\[ 9 - y^{2} = (3)^{2} - y^{2} = (3 - y)(3 + y) \]
Étape 5 : Écrire la factorisation complète
En combinant les factorisations :
\[ (2x - y)(3 - y)(3 + y) \]
Réponse finale :
\[ (2x - y)(3 - y)(3 + y) \]
\[ a^{8}(x^{2} - y^{2}) + (y^{2} - x^{2}) \]
Étape 1 : Simplifier l’expression
Remarquons que \(y^{2} - x^{2} = -(x^{2} - y^{2})\). Remplaçons dans l’expression :
\[ a^{8}(x^{2} - y^{2}) + (y^{2} - x^{2}) = a^{8}(x^{2} - y^{2}) - (x^{2} - y^{2}) \]
Étape 2 : Identifier le facteur commun
Les deux termes contiennent le facteur commun \((x^{2} - y^{2})\).
Étape 3 : Factoriser le facteur commun
Factorisons \((x^{2} - y^{2})\) :
\[ a^{8}(x^{2} - y^{2}) - (x^{2} - y^{2}) = (x^{2} - y^{2})(a^{8} - 1) \]
Étape 4 : Reconnaître une différence de carrés
L’expression \(x^{2} - y^{2}\) est une différence de carrés et peut être factorisée :
\[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]
De plus, \(a^{8} - 1\) est également une différence de carrés :
\[ a^{8} - 1 = (a^{4})^{2} - 1^{2} = (a^{4} - 1)(a^{4} + 1) \]
Étape 5 : Factoriser davantage si possible
Factorisons \(a^{4} - 1\) :
\[ a^{4} - 1 = (a^{2})^{2} - 1^{2} = (a^{2} - 1)(a^{2} + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^{2} + 1) \]
L’expression \(a^{4} + 1\) ne se factorise pas davantage avec des nombres réels.
Étape 6 : Écrire la factorisation complète
En combinant toutes les factorisations :
\[ (x - y)(x + y)(a - 1)(a + 1)(a^{2} + 1)(a^{4} + 1) \]
Réponse finale :
\[ (x - y)(x + y)(a - 1)(a + 1)(a^{2} + 1)(a^{4} + 1) \]