Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{3 x^{2}-27}{2 x-6}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{14 a+21 b}{4 a^{2}+9 b^{2}+12 a b}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{4 a^{2} x-16 x^{3}}{8 a x-16 x^{2}}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{2 a x^{3}+8 a x^{2}+6 a x}{4 x^{4}+24 x^{3}+36 x^{2}}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{a b x^{2}-2 a b x+a b}{(x-1) \cdot a+(x-1) \cdot b}\)
Simplifiez l’expression suivante : \(\frac{4 a^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}}{a y^{2}-4 a x y+4 a x^{2}}\)
Exercice 13 : (3(x + 3))/2
Exercice 14 : 7/(2a + 3b)
Exercice 15 : (a + 2x)/2
Exercice 16 : a(x + 1)/(2x(x + 3))
Exercice 17 : ab(x – 1)/(a + b)
Exercice 18 : a(2x + y)/(2x – y)
Voici la correction détaillée de chacun des exercices :
────────────────────────────── Exercice 13) ────────────────────────────── On souhaite simplifier l’expression :
(3x² – 27)/(2x – 6)
Dans le numérateur, on constate que 3 est un facteur commun : 3x² – 27 = 3 · (x² – 9).
La différence x² – 9 est une différence de deux carrés et se factorise en : x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
On a donc : 3x² – 27 = 3 · (x – 3)(x + 3).
Dans le dénominateur, 2x – 6 a pour facteur commun 2 : 2x – 6 = 2 · (x – 3).
L’expression devient alors : [3 · (x – 3)(x + 3)] / [2 · (x – 3)].
On simplifie en annulant le facteur commun (x – 3) (à condition que x – 3 ≠ 0, c’est-à-dire x ≠ 3) : = [3(x + 3)]/2.
Réponse finale : (3(x + 3))/2
────────────────────────────── Exercice 14) ────────────────────────────── Simplifions l’expression :
(14a + 21b)/(4a² + 9b² + 12ab)
Dans le numérateur, on remarque que 7 est un facteur commun : 14a + 21b = 7 · (2a + 3b).
Le dénominateur peut être réarrangé comme suit : 4a² + 12ab + 9b². Il s’agit là du développement de (2a + 3b)², car : (2a + 3b)² = 4a² + 2 · (2a)(3b) + 9b² = 4a² + 12ab + 9b².
L’expression devient donc : [7 · (2a + 3b)] / [(2a + 3b)²].
On simplifie en annulant un facteur (2a + 3b) (en supposant 2a + 3b ≠ 0) : = 7/(2a + 3b).
Réponse finale : 7/(2a + 3b)
────────────────────────────── Exercice 15) ────────────────────────────── Simplifions l’expression :
(4a²x – 16x³)/(8ax – 16x²)
Dans le numérateur, on remarque que 4x est un facteur commun : 4a²x – 16x³ = 4x · (a² – 4x²).
La différence a² – 4x² est encore une différence de deux carrés : a² – 4x² = (a – 2x)(a + 2x).
Ainsi le numérateur s’écrit : 4x · (a – 2x)(a + 2x).
Dans le dénominateur, on extrait le facteur commun 8x : 8ax – 16x² = 8x · (a – 2x).
L’expression devient : [4x · (a – 2x)(a + 2x)] / [8x · (a – 2x)].
On peut simplifier les facteurs communs : – Le x se trouve à la fois au numérateur et au dénominateur (en supposant x ≠ 0). – Le terme (a – 2x) apparaît en numérateur et dénominateur (à condition que a – 2x ≠ 0). – Le coefficient 4/8 se simplifie en 1/2.
On obtient ainsi : = (a + 2x)/2.
Réponse finale : (a + 2x)/2
────────────────────────────── Exercice 16) ────────────────────────────── Simplifions l’expression :
(2ax³ + 8ax² + 6ax)/(4x⁴ + 24x³ + 36x²)
Dans le numérateur, on peut factoriser 2ax (a et x non nuls) : 2ax³ + 8ax² + 6ax = 2ax · (x² + 4x + 3).
Le trinôme x² + 4x + 3 se factorise en : x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).
Donc le numérateur devient : 2ax · (x + 1)(x + 3).
Dans le dénominateur, on remarque que 4x² est un facteur commun : 4x⁴ + 24x³ + 36x² = 4x² · (x² + 6x + 9).
Le trinôme x² + 6x + 9 est un carré parfait : x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Le dénominateur s’écrit alors : 4x² · (x + 3)².
L’expression devient : [2ax · (x + 1)(x + 3)] / [4x² · (x + 3)²].
Procédons aux simplifications : – Le 2/4 se simplifie en 1/2. – Le x présent au numérateur annule l’un des x en x² (donc reste x au dénominateur), avec x ≠ 0. – Un facteur (x + 3) en numérateur est annulé avec l’un des (x + 3) au dénominateur, (à condition que x + 3 ≠ 0).
On obtient donc : = [a · (x + 1)] / [2x · (x + 3)].
Réponse finale : a(x + 1)/(2x(x + 3))
────────────────────────────── Exercice 17) ────────────────────────────── Simplifions l’expression :
(abx² – 2abx + ab)/[(x – 1)·a + (x – 1)·b]
Dans le numérateur, on remarque que ab est commun dans tous les termes : abx² – 2abx + ab = ab · (x² – 2x + 1).
Le trinôme x² – 2x + 1 est un carré parfait : x² – 2x + 1 = (x – 1)².
Ainsi le numérateur devient : ab · (x – 1)².
Dans le dénominateur, on constate que (x – 1) est commun aux deux termes : (x – 1)·a + (x – 1)·b = (x – 1) · (a + b).
L’expression complète se simplifie alors : [ab · (x – 1)²] / [(x – 1) · (a + b)].
On annule un facteur (x – 1) (en supposant x ≠ 1) : = ab · (x – 1)/(a + b).
Réponse finale : (ab(x – 1))/(a + b)
────────────────────────────── Exercice 18) ────────────────────────────── Simplifions l’expression :
(4a²x² – a²y²)/(ay² – 4axy + 4ax²)
Dans le numérateur, on factorise a² : 4a²x² – a²y² = a² · (4x² – y²).
Le terme 4x² – y² est une différence de deux carrés, qui se factorise en : 4x² – y² = (2x – y)(2x + y).
Donc le numérateur s’écrit : a² · (2x – y)(2x + y).
Dans le dénominateur, on factorise a : ay² – 4axy + 4ax² = a · (y² – 4xy + 4x²).
Le trinôme y² – 4xy + 4x² se reconnaît comme le carré de (y – 2x) car : (y – 2x)² = y² – 4xy + 4x².
Ainsi le dénominateur devient : a · (y – 2x)². Remarquons que (y – 2x)² est égal à (2x – y)² puisqu’en facteur le signe s’annule lors de l’élévation au carré.
L’expression devient donc : [a² · (2x – y)(2x + y)] / [a · (2x – y)²].
On simplifie en annulant un facteur a (a ≠ 0) et un facteur (2x – y) (à condition que 2x – y ≠ 0) : = a · (2x + y)/(2x – y).
Réponse finale : a(2x + y)/(2x – y)
────────────────────────────── Ces simplifications sont valables pour les valeurs des variables pour lesquelles les dénominateurs ne s’annulent pas.