Exercice 19
Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :
\[ \frac{x^{2} - y^{2}}{2x + 2y} \]
Exercice 20
Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :
\[ \frac{a^{2} - b^{2}}{b - a} \]
Exercice 21
Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :
\[ \frac{x^{2}y + xy^{2}}{x^{2} + 2xy + y^{2}} \]
Exercice 22
Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :
\[ \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \]
Exercice 23
Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :
\[ \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} + x - 6} \]
Exercice 24
Factoriser le numérateur ou le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs :
\[ \frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} - 2ab + b^{2}} \]
Réponses :
Exercice 19 : (x – y) / 2
Exercice 20 : –(a + b)
Exercice 21 : xy / (x + y)
Exercice 22 : (a – b) / (a + b)
Exercice 23 : (x – 2) / (x + 3)
Exercice 24 : [(a + b) / (a – b)]²
Nous allons traiter chaque exercice séparément en détaillant les étapes de factorisation et de simplification.
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Exercice 19 :
On nous donne : (x² – y²) / (2x + 2y)
Factorisation du numérateur :
x² – y² est une différence de deux carrés, ce qui se factorise en :
x² – y² = (x – y)(x + y).
Factorisation du dénominateur :
2x + 2y peut être écrit en factorisant 2 : 2x + 2y = 2(x +
y).
Remplacement dans l’expression :
Nous avons donc : [(x – y)(x + y)] / [2(x + y)].
Simplification :
On constate que le facteur (x + y) apparaît à la fois au numérateur et
au dénominateur; on peut l’annuler (en supposant que x + y ≠ 0) : =
(x – y) / 2.
Réponse de l’exercice 19 : (x – y) / 2.
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Exercice 20 :
On nous donne : (a² – b²) / (b – a)
Factorisation du numérateur :
a² – b² est une différence de deux carrés, se factorisant en : a²
– b² = (a – b)(a + b).
Dénominateur :
b – a peut être mis sous forme opposée à (a – b) car : b – a = –
(a – b).
Réécriture de l’expression :
Nous avons alors : [(a – b)(a + b)] / [– (a – b)].
Simplification :
Le facteur (a – b) se simplifie (à condition que a ≠ b) : = –(a +
b).
Réponse de l’exercice 20 : –(a + b).
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Exercice 21 :
On nous donne : (x²y + xy²) / (x² + 2xy + y²)
Factorisation du numérateur :
Repérons le facteur commun xy : x²y + xy² = xy(x + y).
Factorisation du dénominateur :
x² + 2xy + y² est un carré parfait : x² + 2xy + y² = (x +
y)².
Remplacement dans l’expression :
L’expression devient : [xy(x + y)] / [(x + y)²].
Simplification :
On annule un facteur (x + y) présent au numérateur et au dénominateur
(en supposant que x + y ≠ 0) : = xy / (x + y).
Réponse de l’exercice 21 : xy / (x + y).
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Exercice 22 :
On nous donne : (a² – 2ab + b²) / (a² – b²)
Factorisation du numérateur :
Le numérateur est un carré parfait : a² – 2ab + b² = (a –
b)².
Factorisation du dénominateur :
a² – b² est une différence de deux carrés : a² – b² = (a – b)(a +
b).
Remplacement dans l’expression :
On écrit : [(a – b)²] / [(a – b)(a + b)].
Simplification :
On simplifie un facteur (a – b) (à condition que a ≠ b) : = (a –
b) / (a + b).
Réponse de l’exercice 22 : (a – b) / (a + b).
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Exercice 23 :
On nous donne : (x² – 4x + 4) / (x² + x – 6)
Factorisation du numérateur :
x² – 4x + 4 est un carré parfait : x² – 4x + 4 = (x –
2)².
Factorisation du dénominateur :
Pour x² + x – 6, nous cherchons deux nombres dont le produit vaut –6
et dont la somme vaut 1. On trouve 3 et –2 : x² + x – 6 = (x + 3)(x
– 2).
Remplacement dans l’expression :
Nous obtenons : [(x – 2)²] / [(x + 3)(x – 2)].
Simplification :
On annule le facteur commun (x – 2) (en supposant x – 2 ≠ 0) : =
(x – 2) / (x + 3).
Réponse de l’exercice 23 : (x – 2) / (x + 3).
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Exercice 24 :
On nous donne : (a² + 2ab + b²) / (a² – 2ab + b²)
Factorisation du numérateur :
a² + 2ab + b² est un carré parfait : a² + 2ab + b² = (a +
b)².
Factorisation du dénominateur :
a² – 2ab + b² est également un carré parfait : a² – 2ab + b² = (a
– b)².
Expression finale :
On écrit l’expression sous la forme : (a + b)² / (a – b)². Ceci
peut être écrit comme le carré du quotient : [(a + b) / (a –
b)]².
Réponse de l’exercice 24 : [(a + b) / (a – b)]².
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Récapitulatif des réponses :
Exercice 19 : (x – y) / 2
Exercice 20 : –(a + b)
Exercice 21 : xy / (x + y)
Exercice 22 : (a – b) / (a + b)
Exercice 23 : (x – 2) / (x + 3)
Exercice 24 : [(a + b) / (a – b)]²
Chaque étape repose sur la reconnaissance de formes particulières comme la différence de deux carrés ou le carré parfait, ainsi que sur la mise en évidence de facteurs communs que l’on annule pour simplifier l’expression.