Question : Factorisez les expressions suivantes :
Les exercices montrent comment factoriser des expressions en identifiant la différence de deux carrés et en appliquant systématiquement la formule \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Étape 1 : Reconnaître la structure de la différence de deux carrés.
L’expression est de la forme \(a^2 - b^2\), où : - \(a = \left(x - \dfrac{3}{4}\right)\) - \(b = 4\) (car \(16 = 4^2\))
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de deux carrés.
La formule est : \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Étape 3 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans la formule.
\[ \left(x - \dfrac{3}{4}\right)^2 - 16 = \left(\left(x - \dfrac{3}{4}\right) - 4\right)\left(\left(x - \dfrac{3}{4}\right) + 4\right) \]
Étape 4 : Simplifier les parenthèses.
\[ \left(x - \dfrac{3}{4} - 4\right) = \left(x - \dfrac{3}{4} - \dfrac{16}{4}\right) = \left(x - \dfrac{19}{4}\right) \] \[ \left(x - \dfrac{3}{4} + 4\right) = \left(x - \dfrac{3}{4} + \dfrac{16}{4}\right) = \left(x + \dfrac{13}{4}\right) \]
Résultat final :
\[ A = \left(x - \dfrac{19}{4}\right)\left(x + \dfrac{13}{4}\right) \]
Étape 1 : Reconnaître la structure de la différence de deux carrés.
L’expression est de la forme \(a^2 - b^2\), où : - \(a = 10\) (car \(100 = 10^2\)) - \(b = \left(2x + \dfrac{1}{3}\right)\)
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de deux carrés.
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Étape 3 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans la formule.
\[ 100 - \left(2x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \left(10 - \left(2x + \dfrac{1}{3}\right)\right)\left(10 + \left(2x + \dfrac{1}{3}\right)\right) \]
Étape 4 : Simplifier les parenthèses.
\[ 10 - \left(2x + \dfrac{1}{3}\right) = -2x + 10 - \dfrac{1}{3} = -2x + \dfrac{30}{3} - \dfrac{1}{3} = -2x + \dfrac{29}{3} \] \[ 10 + \left(2x + \dfrac{1}{3}\right) = 2x + 10 + \dfrac{1}{3} = 2x + \dfrac{30}{3} + \dfrac{1}{3} = 2x + \dfrac{31}{3} \]
Résultat final :
\[ B = \left(-2x + \dfrac{29}{3}\right)\left(2x + \dfrac{31}{3}\right) \] \[ \text{Ou, en factorisant le signe négatif :} \] \[ B = -\left(2x - \dfrac{29}{3}\right)\left(2x + \dfrac{31}{3}\right) \]
Étape 1 : Reconnaître la structure de la différence de deux carrés.
L’expression est de la forme \(a^2 - b^2\), où : - \(a = (3x + 2)\) - \(b = 3\) (car \(9 = 3^2\))
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de deux carrés.
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Étape 3 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans la formule.
\[ \left(3x + 2\right)^2 - 9 = \left(3x + 2 - 3\right)\left(3x + 2 + 3\right) \]
Étape 4 : Simplifier les parenthèses.
\[ 3x + 2 - 3 = 3x - 1 \] \[ 3x + 2 + 3 = 3x + 5 \]
Résultat final :
\[ C = (3x - 1)(3x + 5) \]
Étape 1 : Reconnaître la structure de la différence de deux carrés.
L’expression est de la forme \(a^2 - b^2\), où : - \(a = \dfrac{5}{8}\) (car \(\left(\dfrac{5}{8}\right)^2 = \dfrac{25}{64}\)) - \(b = (4 - x)\)
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de deux carrés.
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Étape 3 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans la formule.
\[ \dfrac{25}{64} - (4 - x)^2 = \left(\dfrac{5}{8} - (4 - x)\right)\left(\dfrac{5}{8} + (4 - x)\right) \]
Étape 4 : Simplifier les parenthèses.
\[ \dfrac{5}{8} - (4 - x) = \dfrac{5}{8} - 4 + x = x - \dfrac{27}{8} \] \[ \dfrac{5}{8} + (4 - x) = \dfrac{5}{8} + 4 - x = -x + \dfrac{37}{8} \]
Résultat final :
\[ D = \left(x - \dfrac{27}{8}\right)\left(-x + \dfrac{37}{8}\right) \] \[ \text{Ou, en réarrangeant :} \] \[ D = -\left(x - \dfrac{27}{8}\right)\left(x - \dfrac{37}{8}\right) \]
Étape 1 : Reconnaître la structure de la différence de deux carrés.
L’expression est de la forme \(a^2 - b^2\), où : - \(a = \left(x + \dfrac{5}{6}\right)\) - \(b = \dfrac{5}{6}\) (car \(\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{25}{36}\))
Étape 2 : Appliquer la formule de la différence de deux carrés.
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Étape 3 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans la formule.
\[ \left(x + \dfrac{5}{6}\right)^2 - \dfrac{25}{36} = \left(x + \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6}\right)\left(x + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6}\right) \]
Étape 4 : Simplifier les parenthèses.
\[ x + \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} = x \] \[ x + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} = x + \dfrac{10}{6} = x + \dfrac{5}{3} \]
Résultat final :
\[ E = x \left(x + \dfrac{5}{3}\right) \]
Ces corrections détaillées montrent comment identifier et appliquer la méthode de la différence de deux carrés pour factoriser chaque expression. En suivant ces étapes, vous pourrez factoriser des expressions similaires avec confiance.