Exercice
Trois amis ont des âges dont le produit est égal à \(1440\). La somme de leurs âges est le triple de l’âge d’un quatrième ami. De plus, une de ces trois personnes est plus jeune que le conducteur. Calcule l’âge de chacun de ces trois amis.
Les trois amis ont respectivement 20 ans, 18 ans et 4 ans.
Correction de l’exercice
Énoncé :
Trois amis ont des âges dont le produit est égal à \(1440\). La somme de leurs âges est le triple de l’âge d’un quatrième ami. De plus, une de ces trois personnes est plus jeune que le conducteur. Calcule l’âge de chacun de ces trois amis.
Étape 1 : Compréhension du problème
Nous devons déterminer les âges de trois amis dont :
Pour résoudre ce problème, procédons étape par étape.
Étape 2 : Facteurisation de \(1440\)
Tout d’abord, trouvons les triplets d’entiers positifs dont le produit est \(1440\).
Factorisons \(1440\) en ses facteurs premiers :
\[ 1440 = 2^5 \times 3^2 \times 5 \]
Nous cherchons trois nombres \(a\), \(b\), et \(c\) tels que :
\[ a \times b \times c = 1440 \]
et
\[ a + b + c = 3 \times d \]
où \(d\) est l’âge du quatrième ami.
Étape 3 : Recherche des triplets possibles
Listons les différentes combinaisons possibles des facteurs de \(1440\) pour obtenir des triplets \((a, b, c)\).
Après une analyse, les triplets possibles sont :
Étape 4 : Vérification de la somme des âges
Nous savons que la somme des âges des trois amis est le triple de l’âge du quatrième ami. Donc, pour chaque triplet, calculons la somme et vérifions si elle est divisible par \(3\).
Pour \((10, 12, 12)\) : \[ 10 + 12 + 12 = 34 \quad \text{(non divisible par 3)} \]
Pour \((15, 16, 6)\) : \[ 15 + 16 + 6 = 37 \quad \text{(non divisible par 3)} \]
Pour \((20, 18, 4)\) : \[ 20 + 18 + 4 = 42 \quad \text{(divisible par 3)} \]
Pour \((24, 15, 4)\) : \[ 24 + 15 + 4 = 43 \quad \text{(non divisible par 3)} \]
Pour \((30, 16, 3)\) : \[ 30 + 16 + 3 = 49 \quad \text{(non divisible par 3)} \]
Pour \((40, 9, 4)\) : \[ 40 + 9 + 4 = 53 \quad \text{(non divisible par 3)} \]
Le seul triplet qui satisfait cette condition est \((20, 18, 4)\).
Étape 5 : Détermination de l’âge du quatrième ami
Puisque la somme des âges est \(42\), l’âge du quatrième ami \(d\) est :
\[ 42 = 3 \times d \implies d = \frac{42}{3} = 14 \]
Étape 6 : Considération de l’âge par rapport au conducteur
L’énoncé mentionne qu’une des trois personnes est plus jeune que le conducteur. Cela signifie que l’un des amis a un âge inférieur à celui du conducteur. Cependant, sans information supplémentaire sur l’âge du conducteur, cette condition est déjà satisfaite puisque dans notre triplet \((20, 18, 4)\), l’ami âgé de \(4\) ans est très probablement plus jeune que le conducteur.
Conclusion :
Les âges des trois amis sont donc :
\[ 20 \ \text{ans}, \quad 18 \ \text{ans}, \quad \text{et} \quad 4 \ \text{ans}. \]