Exercice 62

Question : Factorisez les expressions suivantes :

\(x^{2} - 10x + 25 =\)
\(25k^{2} - 50k + 25 =\)
\(4 + 12x + 9x^{2} =\)
\(a^{2} + 7a + 10 =\)
\(v^{2} - 5v - 6 =\)
\(x^{4} - 16 =\)
\(x^{2} - 6x + 8 =\)
\(p^{2} - q^{2} =\)
\(x^{4} - 6x^{2}z + 9z^{2} =\)
\(4bx - 3dx + 4ab - 3bd =\)

Réponse

Résumé des factorisations :

\(x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)^{2}\)
\(25k^{2} - 50k + 25 = 25(k - 1)^{2}\)
\(4 + 12x + 9x^{2} = (3x + 2)^{2}\)
\(a^{2} + 7a + 10 = (a + 5)(a + 2)\)
\(v^{2} - 5v - 6 = (v - 6)(v + 1)\)
\(x^{4} - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4)\)
\(x^{2} - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2)\)
\(p^{2} - q^{2} = (p - q)(p + q)\)
\(x^{4} - 6x^{2}z + 9z^{2} = (x^{2} - 3z)^{2}\)
\(4bx - 3dx + 4ab - 3bd = 4b(x + a) - 3d(x + b)\)

Étapes de factorisation :

Identifier les coefficients :
- Coefficient de \(x^{2}\) : 1
- Coefficient de \(x\) : -10
- Terme constant : 25
Trouver deux nombres dont :
- Le produit est égal au terme constant (\(+25\))
- La somme est égale au coefficient de \(x\) (\(-10\))
Recherche des nombres :
- Les nombres sont \(-5\) et \(-5\) car : \[ (-5) \times (-5) = 25 \quad \text{et} \quad (-5) + (-5) = -10 \]
Écriture de la factorisation : \[ x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)^{2} \]

Réponse : \[ x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)^{2} \]

Étapes de factorisation :

Identifier les coefficients :
- Coefficient de \(k^{2}\) : 25
- Coefficient de \(k\) : -50
- Terme constant : 25
Factoriser le coefficient commun :
- Tous les termes sont divisibles par 25. \[ 25k^{2} - 50k + 25 = 25(k^{2} - 2k + 1) \]
Factoriser le trinôme au sein des parenthèses :
- Trouver deux nombres dont : \[ (-1) \times (-1) = 1 \quad \text{et} \quad (-1) + (-1) = -2 \]
- Donc : \[ k^{2} - 2k + 1 = (k - 1)^{2} \]
Écriture finale de la factorisation : \[ 25(k - 1)^{2} \]

Réponse : \[ 25k^{2} - 50k + 25 = 25(k - 1)^{2} \]

Étapes de factorisation :

Remettre les termes en ordre décroissant : \[ 9x^{2} + 12x + 4 \]
Identifier les coefficients :
- Coefficient de \(x^{2}\) : 9
- Coefficient de \(x\) : 12
- Terme constant : 4
Trouver deux nombres \(m\) et \(n\) tels que : \[ m \times n = 9 \times 4 = 36 \quad \text{et} \quad m + n = 12 \]
- Les nombres sont 6 et 6.
Écrire le trinôme sous forme factorisée : \[ 9x^{2} + 12x + 4 = (3x + 2)^{2} \]

Réponse : \[ 4 + 12x + 9x^{2} = (3x + 2)^{2} \]

Étapes de factorisation :

Identifier les coefficients :
- Coefficient de \(a^{2}\) : 1
- Coefficient de \(a\) : 7
- Terme constant : 10
Trouver deux nombres dont : \[ m \times n = 10 \quad \text{et} \quad m + n = 7 \]
- Les nombres sont 5 et 2.
Écrire la factorisation : \[ a^{2} + 7a + 10 = (a + 5)(a + 2) \]

Réponse : \[ a^{2} + 7a + 10 = (a + 5)(a + 2) \]

Étapes de factorisation :

Identifier les coefficients :
- Coefficient de \(v^{2}\) : 1
- Coefficient de \(v\) : -5
- Terme constant : -6
Trouver deux nombres dont : \[ m \times n = -6 \quad \text{et} \quad m + n = -5 \]
- Les nombres sont -6 et +1.
Écrire la factorisation : \[ v^{2} - 5v - 6 = (v - 6)(v + 1) \]

Réponse : \[ v^{2} - 5v - 6 = (v - 6)(v + 1) \]

Étapes de factorisation :

Reconnaître une différence de carrés : \[ x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés : \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
- Ici, \(a = x^{2}\) et \(b = 4\).
Factoriser : \[ x^{4} - 16 = (x^{2} - 4)(x^{2} + 4) \]
Factoriser davantage si possible :
- \(x^{2} - 4\) est également une différence de carrés : \[ x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
- \(x^{2} + 4\) ne peut pas être factorisé avec des réels.
Écriture finale : \[ x^{4} - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4) \]

Réponse : \[ x^{4} - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^{2} + 4) \]

Étapes de factorisation :

Identifier les coefficients :
- Coefficient de \(x^{2}\) : 1
- Coefficient de \(x\) : -6
- Terme constant : 8
Trouver deux nombres dont : \[ m \times n = 8 \quad \text{et} \quad m + n = -6 \]
- Les nombres sont -4 et -2.
Écrire la factorisation : \[ x^{2} - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) \]

Réponse : \[ x^{2} - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) \]

Étapes de factorisation :

Reconnaître une différence de carrés : \[ p^{2} - q^{2} = (p)^{2} - (q)^{2} \]
Appliquer la formule de la différence de carrés : \[ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) \]
- Ici, \(a = p\) et \(b = q\).
Écrire la factorisation : \[ p^{2} - q^{2} = (p - q)(p + q) \]

Réponse : \[ p^{2} - q^{2} = (p - q)(p + q) \]

Étapes de factorisation :

Reconnaître un trinôme carré : \[ x^{4} - 6x^{2}z + 9z^{2} = (x^{2})^{2} - 2 \times x^{2} \times 3z + (3z)^{2} \]
Appliquer la formule du carré parfait : \[ a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2} \]
- Ici, \(a = x^{2}\) et \(b = 3z\).
Écrire la factorisation : \[ x^{4} - 6x^{2}z + 9z^{2} = (x^{2} - 3z)^{2} \]

Réponse : \[ x^{4} - 6x^{2}z + 9z^{2} = (x^{2} - 3z)^{2} \]

Étapes de factorisation :

Regrouper les termes pour factoriser par regroupement : \[ (4bx + 4ab) + (-3dx - 3bd) \]
Factoriser les termes communs dans chaque groupe :
- Dans le premier groupe \(4bx + 4ab\), le facteur commun est \(4b\) : \[ 4b(x + a) \]
- Dans le deuxième groupe \(-3dx - 3bd\), le facteur commun est \(-3d\) : \[ -3d(x + b) \]
Réécrire l’expression factorisée : \[ 4b(x + a) - 3d(x + b) \]
Cependant, pour une factorisation complète, on peut remarquer qu’il y a une structure similaire : Si \((x + a)\) et \((x + b)\) ne sont pas identiques, il n’est pas possible de factoriser davantage. Cependant, si \(a = b\), une factorisation supplémentaire serait possible. Dans ce cas, sans information supplémentaire, la factorisation par regroupement est la plus complète.

Réponse : \[ 4bx - 3dx + 4ab - 3bd = 4b(x + a) - 3d(x + b) \]