Exercice 61

Question : Factorisez les expressions suivantes :

\(14xy + 42x - 28y =\)
\(10cx + 15dy + 10cy + 15dy =\)
\(90x - 90x^{2} =\)
\(70x(2y^{2} - 4y) + (2y^{2} - 4y)x^{2} =\)
\(40x^{3} + 20x + 5 =\)
\(5(x + y) + 10(x + y) =\)
\(9bx + 12bz + 9dx + 12dz =\)
\(200ab^{2} + 20ab - 80a^{2}b =\)
\(5x(7x^{2} - 4y) + (7x^{2} + 4y)x^{3} =\)
\(54y^{3} - 30x + 10 =\)
\(6x(4x^{2} - 8) + (4x^{2} + 8)6x =\)
\(20ax - 3ay + 20bx - 3by =\)
\(4a(a - 4) - 5b(a - 4) =\)
\(60ax + 10cx + 35ab + 5bc =\)

Réponse

14(xy + 3x – 2y)
10[c(x + y) + 3dy]
90x(1 – x)
x(70 + x)(2y² – 4y) ou 2xy(70 + x)(y – 2)
5(8x³ + 4x + 1)
15(x + y)
3(b + d)(3x + 4z)
20ab(10b + 1 – 4a)
x[5(7x² – 4y) + x²(7x² + 4y)]
2(27y³ – 15x + 5)
48x³
(a + b)(20x – 3y)
(a – 4)(4a – 5b)
5[a(12x + 7b) + c(2x + b)]

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en expliquant pas à pas comment factoriser chacune des expressions.

────────────────────────────── a) Factorisez 14xy + 42x – 28y

On remarque que les trois termes sont divisibles par 14.
On écrit chaque terme sous la forme 14·(… ) : 14xy = 14 · (xy) 42x = 14 · (3x) –28y = 14 · (–2y)
On factorise 14 qui est présent dans chacun : 14xy + 42x – 28y = 14 (xy + 3x – 2y).

────────────────────────────── b) Factorisez 10cx + 15dy + 10cy + 15dy

Remarquez que le terme 15dy apparaît deux fois. Regroupons les termes semblables : • Ceux contenant c : 10cx + 10cy = 10c(x + y) • Ceux contenant d : 15dy + 15dy = 30dy
On écrit ainsi : 10cx + 15dy + 10cy + 15dy = 10c(x + y) + 30dy.
On peut aussi factoriser un 10 commun : = 10 [c(x + y) + 3dy].

────────────────────────────── c) Factorisez 90x – 90x²

On remarque que 90x est un facteur commun (puisque 90x² = 90x · x).
On factorise : 90x – 90x² = 90x (1 – x).

────────────────────────────── d) Factorisez 70x(2y² – 4y) + (2y² – 4y)x²

Tous les deux termes contiennent le facteur (2y² – 4y).
On factorise ce facteur commun : 70x(2y² – 4y) + (2y² – 4y)x² = (2y² – 4y)(70x + x²).
On peut aussi remarquer que 70x + x² se factorise en x(70 + x) : = (2y² – 4y) · x (70 + x).
En option, on peut extraire 2y dans (2y² – 4y) : 2y² – 4y = 2y(y – 2), donc l’expression devient : 2xy (70 + x)(y – 2).

────────────────────────────── e) Factorisez 40x³ + 20x + 5

Les trois termes sont divisibles par 5.
On factorise 5 : 40x³ + 20x + 5 = 5 (8x³ + 4x + 1).
L’expression à l’intérieur de la parenthèse ne se factorise pas davantage de façon évidente.

────────────────────────────── f) Factorisez 5(x + y) + 10(x + y)

On remarque le facteur commun (x + y).
On regroupe : 5(x + y) + 10(x + y) = (5 + 10)(x + y) = 15(x + y).

────────────────────────────── g) Factorisez 9bx + 12bz + 9dx + 12dz

Regroupons par paires : (9bx + 12bz) + (9dx + 12dz).
Dans le premier groupe, factorisons b et dans le second, d : 9bx + 12bz = 3b(3x + 4z) et 9dx + 12dz = 3d(3x + 4z).
On retrouve ensuite le facteur commun (3x + 4z) : 3b(3x + 4z) + 3d(3x + 4z) = 3(b + d)(3x + 4z).

────────────────────────────── h) Factorisez 200ab² + 20ab – 80a²b

Tous les termes possèdent au moins 20ab comme facteur : 200ab² = 20ab (10b), 20ab = 20ab · (1), 80a²b = 20ab (4a) (attention au signe).
On écrit : 200ab² + 20ab – 80a²b = 20ab (10b + 1 – 4a).

────────────────────────────── i) Factorisez 5x(7x² – 4y) + (7x² + 4y)x³

On constate que chaque terme possède au moins un facteur x. Factorisons-le : = x [5(7x² – 4y) + x²(7x² + 4y)].
L’expression entre crochets ne présente pas de facteur commun évident entre 5(7x² – 4y) et x²(7x² + 4y).
On laisse donc la factorisation sous cette forme.

────────────────────────────── j) Factorisez 54y³ – 30x + 10

On vérifie les coefficients : 54, 30 et 10 sont tous divisibles par 2.
On factorise 2 : 54y³ – 30x + 10 = 2 (27y³ – 15x + 5).
L’expression obtenue ne se factorise pas davantage de façon évidente.

────────────────────────────── k) Factorisez 6x(4x² – 8) + (4x² + 8)6x

Remarquez que les deux termes comportent le facteur 6x.
Écrivons l’expression en mettant 6x en facteur : 6x(4x² – 8) + 6x(4x² + 8) = 6x[(4x² – 8) + (4x² + 8)].
La somme dans la parenthèse se simplifie : (4x² – 8) + (4x² + 8) = 8x².
On obtient : 6x × 8x² = 48x³.

────────────────────────────── l) Factorisez 20ax – 3ay + 20bx – 3by

Regroupez les termes portant le même facteur parmi a et b : (20ax + 20bx) + (–3ay – 3by).
Factorisez x dans le premier groupe et –3y dans le deuxième : 20ax + 20bx = 20x(a + b) et –3ay – 3by = –3y(a + b).
Le facteur (a + b) est commun : = (a + b)(20x – 3y).

────────────────────────────── m) Factorisez 4a(a – 4) – 5b(a – 4)

On note que (a – 4) est présent dans les deux termes.
On factorise (a – 4) : 4a(a – 4) – 5b(a – 4) = (a – 4)(4a – 5b).

────────────────────────────── n) Factorisez 60ax + 10cx + 35ab + 5bc

Tout d’abord, on remarque que tous les coefficients sont divisibles par 5. On factorise 5 : 60ax + 10cx + 35ab + 5bc = 5 (12ax + 2cx + 7ab + bc).
Ensuite, on regroupe de manière judicieuse. Par exemple, regroupons en fonction de a et c : • Regroupons 12ax et 7ab : 12ax + 7ab = a(12x + 7b). • Regroupons 2cx et bc : 2cx + bc = c(2x + b).
On écrit alors : 5 (a(12x + 7b) + c(2x + b)).
Cette factorisation est complète.

────────────────────────────── Résumé des réponses :

14(xy + 3x – 2y)
10 [c(x + y) + 3dy]
90x(1 – x)
x(70 + x)(2y² – 4y) ou 2xy(70 + x)(y – 2)
5(8x³ + 4x + 1)
15(x + y)
3(b + d)(3x + 4z)
20ab(10b + 1 – 4a)
x[5(7x² – 4y) + x²(7x² + 4y)]
2(27y³ – 15x + 5)
48x³
(a + b)(20x – 3y)
(a – 4)(4a – 5b)
5 [a(12x + 7b) + c(2x + b)]

Cette démarche pas à pas permet de voir clairement comment trouver le facteur commun dans chaque terme et regrouper les expressions de manière à simplifier au maximum.