Exercice 60

Question : Factorisez.

1. \(48 - 16x =\)

2. \(4x^{2} + 8x^{3} =\)

3. \(z^{2} - 5z =\)

4. \(15pq - 60p + 30p^{2} =\)

5. \(9a^{2}b - 6ab - 18ab^{2} =\)

6. \(-20xyz + 12xy - 4xz =\)

Réponse

Résumé des factorisations

1. \(48 - 16x = 16(3 - x)\)

2. \(4x^{2} + 8x^{3} = 4x^{2}(1 + 2x)\)

3. \(z^{2} - 5z = z(z - 5)\)

4. \(15pq - 60p + 30p^{2} = 15p(q - 4 + 2p)\)

5. \(9a^{2}b - 6ab - 18ab^{2} = 3ab(3a - 2 - 6b)\)

6. \(-20xyz + 12xy - 4xz = -4x(5yz - 3y + z)\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation

Nous allons factoriser chaque expression étape par étape de manière claire et détaillée.

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a) \(48 - 16x =\)

Étape 1 : Identifier le plus grand facteur commun (PGFC).

Les termes sont 48 et -16x.

• 48 peut être décomposé en \(16 \times 3\).
• -16x est déjà exprimé avec 16.

Le plus grand facteur commun est 16.

Étape 2 : Factoriser le PGFC.

\[ 48 - 16x = 16(3) - 16(x) = 16(3 - x) \]

Réponse :

\[ 48 - 16x = 16(3 - x) \]

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b) \(4x^{2} + 8x^{3} =\)

Étape 1 : Identifier le PGFC.

Les termes sont 4x² et 8x³.

• 4x² peut être décomposé en \(4 \times x \times x\).
• 8x³ peut être décomposé en \(4 \times 2 \times x \times x \times x\).

Le PGFC est 4x².

Étape 2 : Factoriser le PGFC.

\[ 4x^{2} + 8x^{3} = 4x^{2}(1) + 4x^{2}(2x) = 4x^{2}(1 + 2x) \]

Réponse :

\[ 4x^{2} + 8x^{3} = 4x^{2}(1 + 2x) \]

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c) \(z^{2} - 5z =\)

Étape 1 : Identifier le PGFC.

Les termes sont z² et -5z.

• z² peut être décomposé en \(z \times z\).
• -5z peut être décomposé en \(-5 \times z\).

Le PGFC est z.

Étape 2 : Factoriser le PGFC.

\[ z^{2} - 5z = z(z) - z(5) = z(z - 5) \]

Réponse :

\[ z^{2} - 5z = z(z - 5) \]

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d) \(15pq - 60p + 30p^{2} =\)

Étape 1 : Identifier le PGFC.

Les termes sont 15pq, -60p et 30p².

• 15pq peut être décomposé en \(15 \times p \times q\).
• -60p peut être décomposé en \(15 \times (-4) \times p\).
• 30p² peut être décomposé en \(15 \times 2 \times p \times p\).

Le PGFC est 15p.

Étape 2 : Factoriser le PGFC.

\[ 15pq - 60p + 30p^{2} = 15p(q) - 15p(4) + 15p(2p) = 15p(q - 4 + 2p) \]

Réponse :

\[ 15pq - 60p + 30p^{2} = 15p(q - 4 + 2p) \]

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e) \(9a^{2}b - 6ab - 18ab^{2} =\)

Étape 1 : Identifier le PGFC.

Les termes sont 9a²b, -6ab et -18ab².

• 9a²b peut être décomposé en \(3 \times 3 \times a \times a \times b\).
• -6ab peut être décomposé en \(3 \times (-2) \times a \times b\).
• -18ab² peut être décomposé en \(3 \times (-6) \times a \times b \times b\).

Le PGFC est 3ab.

Étape 2 : Factoriser le PGFC.

\[ 9a^{2}b - 6ab - 18ab^{2} = 3ab(3a) - 3ab(2) - 3ab(6b) = 3ab(3a - 2 - 6b) \]

Réponse :

\[ 9a^{2}b - 6ab - 18ab^{2} = 3ab(3a - 2 - 6b) \]

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f) \(-20xyz + 12xy - 4xz =\)

Étape 1 : Identifier le PGFC.

Les termes sont -20xyz, 12xy et -4xz.

• -20xyz peut être décomposé en \(-4 \times 5 \times x \times y \times z\).
• 12xy peut être décomposé en \(4 \times 3 \times x \times y\).
• -4xz peut être décomposé en \(-4 \times x \times z\).

Le PGFC est -4x (le signe négatif est souvent factorizé pour simplifier l’expression finale).

Étape 2 : Factoriser le PGFC.

\[ -20xyz + 12xy - 4xz = -4x(5yz) + -4x(-3y) + -4x(z) = -4x(5yz - 3y + z) \]

Réponse :

\[ -20xyz + 12xy - 4xz = -4x(5yz - 3y + z) \]

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